Question

14．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v₀沿PQ向右做直线运动，Q位于MN上．若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成90°角，已知D、Q间的距离为2L，t₀小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g．求：

（1）电场强度E的大小和方向；
（2）t₀与t₁的比值；
（3）小球过D点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁感应强度B₀的大小及运动的最大周期T_m．

Answer 1

分析 （1）根据电场力与重力，二力平衡，即可求解；
（2）根据小球做匀速圆周运动的周期与半径公式，结合几何关系，即可求解；
（3）根据几何关系，由牛顿第二定律以及周期公式，即可求解

解答 解：（1）不加磁场时，小球沿直线PQ做直线运动，则有：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上，
（2）小球能再次通过D点，其运动轨迹如图所示，设半径为r，做圆周运动的周期为T，则有：
r=v₀t₁，T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$，${t}_{0}=\frac{3}{4}T$，
解得：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{3π}{2}$，
（3）当小球运动周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如图：
由几何关系得：2R=2L，
由牛顿第二定律得：Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，解得：${B}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qL}$，${T}_{m}=\frac{s}{{v}_{0}}=\frac{（6π+8）L}{{v}_{0}}$
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上；
（2）t₀与t₁的比值为$\frac{3π}{2}$；
（3）此时磁感应强度B₀的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，运动的最大周期T_m为$\frac{（6π+8）L}{{v}_{0}}$．

点评 考查粒子受到电场力与洛伦兹力作用，涉及匀速直线运动与匀速圆周运动，掌握平衡方程与牛顿第二定律的方程，注意几何知识在题中的应用，并掌握运动轨迹的对称性．