Question

8．如图所示，在以O为圆心，内外半径分别为R₁和R₂的圆环区域内，存在垂直纸面的匀强磁场，R₁=R₀，R₂=3R₀，一电荷量为+q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．
（1）若粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v₁射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．
（2）若粒子从A点进入磁场，速度大小为v₂，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度的大小应该如何取值？

Answer 1

分析 （1）由于粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v₁射出，则入射点与出射点连续是弦，因此弦的中垂线与射出速度的垂线交点即为轨道的圆心．从而由几何关系可求出磁感应强度大小及运动的时间．
（2）若粒子从A点进入磁场，速度大小一定，方向不定，要使粒子一定能够从外圆射出，粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径，所以由轨道半径从而求出最小磁感应强度．

解答  解：（1）由牛顿第二定律 $qBv=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$①，
如图1，由几何关系粒子运动轨迹的圆心O′和半径R
则有：R²+R²=（R₂-R₁）²，
联立③④得磁感应强度大小$B=\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v_1}$，
由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间$t=\frac{1}{4}T$，
由④⑥⑦式，得 $t=\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$，
（3）如图2，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径，该半径为
${R_C}=\frac{{{R_2}+{R_1}}}{2}$②，
由①②，得磁感应强度应小于${B_c}=\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$，
答：（1）若粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v₁射出，方向与OA延长线成45°角，磁感应强度的大小为$\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，粒子在磁场中运动的时间为$\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$．
（2）若粒子从A点进入磁场，速度大小为v₂，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度的大小应该小于$\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$．

点评 解决粒子做匀速圆周运动的步骤：定圆心、画圆弧、求半径．同时若粒子从A点进入磁场，速度大小一定而方向不定，要使粒子一定能够从外圆射出，求磁感应强度应最大值，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最小内切圆半径．