Question

3．如图所示，装置由加速电场、偏转电场和偏转磁场组成，偏转电场处在相距为d的两块水平放置的平行导体板之间，匀强磁场水平宽度为l，竖直宽度足够大．大量电子（重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场．已知电子的质量为m、电荷量为e，加速电场的电压为U₁=$\frac{3e{{U}_{0}}^{2}{T}^{2}}{8m{d}^{2}}$．当偏转电场不加电压时，这些电子通过两板之间的时间为T；当偏转电场加上如图乙所示的周期为T、大小恒为U₀的电压是，所有电子均能通过电场，穿过磁场后打在竖直放置的荧光屏上．

（1）求水平导体板的板长l₀；
（2）求电子离开偏转电场时的最大侧向位移y_m；
（3）要使电子打在荧光屏上的速度方向斜向右下方，求磁感应强度B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）电子在加速电场中加速，在偏转电场中类平抛运动，应用动能定理与匀速运动公式可以求出板长．
（2）电子在偏转电场中前半个周期内做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出最大偏移量．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出磁感应强度的临界值，然后确定磁感应强度的范围．

解答 解：（1）电子在电场中加速，由动能定理得：eU₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
水平导体板的板长：l₀=v₀T，
解得：l₀=$\frac{\sqrt{3}e{U}_{0}{T}^{2}}{2md}$；
（2）电子在偏转电场中半个周期的时间内做类平抛运动，
半个周期的位移：y₁=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$（$\frac{T}{2}$）²，
电子离开偏转电场时的最大侧向位移为：y_m=3y₁=$\frac{3e{U}_{0}{T}^{2}}{8md}$；
（3）电子离开偏转电场时速度与水平方向夹角为θ，

tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{a×\frac{T}{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}×T}{2{v}_{0}}$=$\frac{e{U}_{0}T}{2m{v}_{0}d}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故速度与水平方向夹角：θ=30°，
电子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，其中：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$，
垂直打在屏上时圆周运动半径为R₁，此时B有最小值，r₁sinθ=l，
轨迹与屏相切时圆周运动半径为R₂，此时B有最大值，r₂sinθ+r₂=l，
解得：B₁=$\frac{{U}_{0}T}{2ld}$，B₂=$\frac{3{U}_{0}T}{2ld}$，故：$\frac{{U}_{0}T}{2ld}$＜B＜$\frac{3{U}_{0}T}{2ld}$；
答：（1）水平导体板的板长l₀为$\frac{\sqrt{3}e{U}_{0}{T}^{2}}{2md}$；
（2）电子离开偏转电场时的最大侧向位移y_m为$\frac{3e{U}_{0}{T}^{2}}{8md}$；
（3）要使电子打在荧光屏上的速度方向斜向右下方，磁感应强度B的取值范围是：$\frac{{U}_{0}T}{2ld}$＜B＜$\frac{3{U}_{0}T}{2ld}$．

点评 本题考查了电子在电场与磁场中的运动，分析清楚电子的运动过程是解题的前提与关键，分析清楚电子运动过程后由于动能定理、类平抛运动规律、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意作出电子在磁场中的运动轨迹、求出电子临界轨道半径．