Question

13．如图所示，光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m₂的小球B静止在光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m₁的小球A从D点以速度v₀向右运动，试求：
（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足什么关系．

Answer 1

分析 （1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，当两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出弹簧的最大弹性势能．
（2）两球分开后，若A球的速度大于B球的速度时，两球可以第二次相碰，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出两球发生第二次相碰的条件．

解答 解：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：
m₁v₀=（m₁+m₂）v 
根据机械能守恒定律有：
E_Pm=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²
联立解得：弹簧弹性势能的最大值为：
E_Pm=$\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
（2）设A、B与弹簧分离后的速度分别为v₁和v₂，根据动量守恒定律有：
   m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
联立⑤⑥解得：v₁=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足|v₁|＞v₂
则有：-$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀＞$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀
解得：m₁＜$\frac{1}{3}$m₂，（m₁+m₂＜0不符合事实，舍去）；
答：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为$\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$．
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足的关系是m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．

点评 分析清楚物体运动过程，分析隐含的临界条件，如弹性势能最大时两球速度相等，应用机械能守恒、动量守恒定律即可正确解题．