Question

14．科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，小行星的公转轨道与地球的公转轨道平面重合且运行方向相同，经过观察，该小行星相邻两次与地球相距最近的时间间隔为t，已知地球绕太阳公转半径为R，周期为T，设地球的公转轨道和小行星的公转轨道都是圆轨道，不考虑地球与小行星之间的作用力，求小行星与地球的最近距离．

Answer 1

分析 该小行星每隔t时间与地球相遇一次，根据△ω•t=2π列式求解小行星周期；小行星与地球的最近距离等于两者的轨道半径之差．

解答 解：设小行星运行周期为T₁，根据题意，有：
$\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{1}}$t=2π；
对地球：
$\frac{Gmm}{{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²R；
对小行星：
$\frac{GM{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$=m₁（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R₁；
故R₁=$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{（t-T）^{2}}}$R；
故小行星与地球最近距离S=R₁-R=（$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$-1）R；
答：小行星与地球的最近距离为（$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$-1）R．

点评 本题关键根据相对运动知识求解出小行星的周期，然后根据万有引力提供向心力列式求解，不难．