如图所示.水平面AB段粗糙.其余部分光滑.左侧固定一根轻质弹簧.右侧与竖直平面内的光滑圆形导轨在B点连接．导轨半径R=0.5m.现用一个质量m=2kg的小球压缩弹簧.弹簧与小球不拴接．用手挡住小球不动.此时弹簧弹性势能EP=49J．放手后小球向右运动脱离弹簧后先经过水平面AB段.再沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C.取g=10m/s2.(1)求小球脱� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图所示，水平面AB段粗糙，其余部分光滑，左侧固定一根轻质弹簧，右侧与竖直平面内的光滑圆形导轨在B点连接．导轨半径R=0.5m，现用一个质量m=2kg的小球压缩弹簧，弹簧与小球不拴接．用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能E_P=49J．放手后小球向右运动脱离弹簧后先经过水平面AB段，再沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，取g=10m/s²，
（1）求小球脱离弹簧时的速度大小；
（2）求小球从A到B克服阻力做的功；
（3）若其他条件不变，而导轨半径R的大小不确定，则当R为多大时，小球落回到水平面时落地点与B点间距离最大．

分析（1）在小球脱离弹簧的过程中只有弹簧弹力做功，根据弹力做功与弹性势能变化的关系和动能定理可以求出小球的脱离弹簧时的速度v；
（2）小球从B到C的过程中只有重力和阻力做功，根据小球恰好能通过最高点的条件得到小球在最高点时的速度，从而根据动能定理求解从B至C过程中小球克服阻力做的功；
（3）小球离开C点后做平抛运动，将运动分解即可求出结果．

解答解：（1）小球从A点开始至小球脱离弹簧的过程中根据弹力做功与弹性势能变化的关系有：
W_弹=-△E_P弹=-（0-E_p）=49J
对小球而言，此过程只有弹力做功，故有：${W}_{弹}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$，
得小球脱离弹簧时的速度为：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{W}_{弹}}{m}}=\sqrt{\frac{2×49}{2}}m/s=7$m/s
（2）小球恰好能通过最高点C，故在最高点小球只受重力作用，根据牛顿第二定律有：$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得小球在C点时的速度为：${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}$m/s
因为AB段光滑，小球在B点时的速度等于小球脱离弹簧时的速度即：v_A=v=7m/s
在从B至C的过程中只有重力和阻力做功，根据动能定理有：$-mg•2R-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据得阻力做功为：W_f=-24J
所以从B至C的过程中小球克服阻力做功24J；
（3）小球从A到B的过程中，由动能定理得：$-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据得：v_B=5m/s
小球从B到C，由动能定理得：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
则：${v}_{C}=\sqrt{25-40R}$
小球离开C做平抛运动，竖直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
则：$t=\sqrt{\frac{2R}{5}}$
水平方向：x=v_Ct
代入数据得：$x=\frac{1}{2}\sqrt{（5-8R）•8R}$
由基本不等式知识得，当5-8R=8R时，即$R=\frac{5}{16}m$时，小球落回到水平面时落地点与B点间距离最大．
答：（1）小球脱离弹簧时的速度大小是7m/s；
（2）小球从A到B克服阻力做的功24J；
（3）若其他条件不变，而导轨半径R的大小不确定，则当R为$\frac{5}{16}$m时，小球落回到水平面时落地点与B点间距离最大．