Question

5．如图所示为在水平面的上方有一固定的运输带，在运输带的左端A用一小段光滑的圆弧与一光滑的斜面体平滑的衔接，该运输带在电动机的带动下以恒定的向左的速度v₀=2m/s运动．将一可以视为质点的质量为m=2kg的小物体由斜面体上的O点无初速释放，经A点滑上运输带，经过一段时间小物体从运输带最右端的B点离开，落地点为C．已知O与A点的高度差为H₁=1.65m、A点距离水平面的高度差为H₂=0.8m、落地面C到运输带最右端的水平距离为x=1.2m，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物体运动到C点的速度应为多大？
（2）如果仅将O与A点的高度差变为H₁′=0.8m，且当小物体刚好运动到A点时，撤走光滑的斜面体，求小物体落在水平面时的速度应为多大？
（3）在第（2）问中小物体在整个运动过程中因摩擦而产生的热量应为多少？

Answer 1

分析 （1）滑块自运输带右端飞出后做平抛运动，已知平抛的水平位移和高度，由分位移公式求解物体运动到B点的速度．再由机械能守恒定律求出运动到C点的速度．
（2）滑块由H₁=1.65m处由静止开始下滑到运输带，在滑到运输带右端过程中，由功能关系求出摩擦力对滑块做功大小W_f．根据mgH₁′＜W_f，分析知道滑块先向右减速，速度至零后向左加速，从传送带左端离开．根据动能定理求出物体从左端滑出时的速度，再对物体离开传送带的过程，根据机械能守恒定律求解小物体落在水平面时的速度．
（3）由运动学公式求出物体与传送带间的相对位移，从而求得摩擦生热．

解答 解：（1）设滑块滑至运输带的右端速度为v₁，滑块自运输带右端飞出至落地时间为t，则在水平方向上 x=v₁t
在竖直方向上 H₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
设滑块落地时的速度为v，根据机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由①②③解得 v₁=3m/s，v=5m/s
（2）设滑块由H₁=1.65m处由静止开始下滑到运输带，在滑到运输带右端过程中，摩擦力对滑块做功大小为W_f，由功能关系得
  mgH₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+W_f；
解得 W_f=24J
由于 mgH₁′＜W_f，则滑块由H₁′=0.8m处开始下滑到运输带，在滑到运输带右端前滑块的速度就应减为零，然后滑块要向左运动，设滑块由H₁′=0.8m处静止开始下滑到运输带，在到达运输带左端的速度为v₀′，则
  mgH₁′=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
解得 v₀′=4m/s
因为 v₀＜v₀′，故滑块向左运动的过程中，先加速至于运输带速度相同，后匀速运动至运输带左端作平抛运动，设滑块从运输带左端抛出落地时的速度大小为v₂，根据机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
（3）设滑块与运输带间的动摩擦因数为μ，滑块由H₁′=0.8m处静止开始下滑到运输带，在运输带上滑到速度为零的过程中，滑块运动的时间为t₁，滑块与运输带摩擦所产生的热量为Q₁，则有
  Q₁=μmg（$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$+v₀t₁）
又对滑块，由动能定理得
-μmg$\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
设滑块后来又向运输带左端运动的过程中，滑块加速至v₀的时间为t₂，滑块与运输带摩擦所产生的热量为Q₂，则
  Q₂=μmg（v₀t₂+$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$）
对滑块，由动能定理得 μmg•$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0
则滑块自释放至落地全过程中滑块与运输带摩擦所产生的热量 Q=Q₁+Q₂．
解得 Q=36J
答：
（1）小物体运动到C点的速度应为5m/s．
（2）小物体落在水平面时的速度应为2$\sqrt{5}$m/s．     
（3）小物体在整个运动过程中因摩擦而产生的热量应为36J．

点评 通过分析物体的受力情况，来判断其运动情况，抓住每个过程遵守的物理规律是解答的关键．要注意摩擦生热要根据相对位移求．