Question

20．如图所示，空间存在一水平向右的有界匀强电场，电场上下边界的距离为d，左右边界足够宽．现有一带电量为+q、质量为m的小球（可视为质点）以竖直向上的速度从下边界上的A点进入匀强电场，且恰好没有从上边界射出，小球最后从下边界的B点离开匀强电场，若A、B两点间的距离为4$\sqrt{3}$d，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）设A点的重力势能为零，求小球在电场中的最大机械能；
（3）求小球速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球水平方向受电场力作用，做匀加速运动，在竖直方向受重力作用，做匀变速运动，上升和下降过程完全对称，根据运动学公式即可求得；
（2）根据动能定理和机械能即可求得；
（3）根据运动的合成与分解利用数学知识即可求得

解答 解：（1）设小球从A运动到B的时间为t，电场强度为E，水平方向受电场力作用，做匀加速运动，则有：${x}_{AB}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，加速度：${a}_{1}=\frac{qE}{m}$，代入数据得：$4\sqrt{3}d$=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
同理竖直方向受重力作用，做匀变速运动，上升和下降过程完全对称：则有：$d=\frac{1}{2}g（\frac{t}{2}）^{2}$
联立两式解得：$E=\frac{mg}{q}$．
（2）机械能的变化量等于初重力以外的力做功，力做功越多机械能越大，则小球到达B点时的机械能最大，
根据动能定理知，$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}=qE•4d$，到达B点的动能为：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}+qE•4d$，
B点势能为0J，则B点的机械能为：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，再根据竖直方向最匀减速运动，由${v}_{0}^{2}=2gd$，得：$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=mgd$，结合：$E=\frac{mg}{q}$，
得B点的机械能为：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=mgd+4Eqd=5mgd
（3）设经过时间t′速度最小，由运动的合成与分解得：v_y=v₀-gt′，${v}_{x}=at′=\frac{qE}{m}t′=gt′$
合速度为：$v=\sqrt{{（gt′）}^{2}+{（{v}_{0}-gt′）}^{2}}$，由数学知识得：当（gt′）²=（v₀-gt′）²时，v有最小值，即：$t′=\frac{{v}_{0}}{2g}$，
带入解得：$v=\sqrt{gd}$
答：（1）匀强电场的电场强度$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在电场中的最大机械能为5mgd；
（3）小球速度的最小值为$\sqrt{gd}$

点评 本题是在电场的环境下，考查运动的分解与合成的关系，结合了动能定理得知识点求解问题