Question

4．如图，AB为光滑竖直杆，ACB为构成直角的光滑L形直轨道，C处有一小圆弧连接，可使小球顺利转变（即通过转弯处不损失机械能）．套在杆上的小球自A点静止释放，分别沿AB轨道和ACB轨道运动，如果沿ACB轨道运动的时间是沿AB轨道运动时间的1.5倍，则AB与AC的夹角为多少？

Answer 1

分析 以小球为研究对象，分别求出沿AC和ABC运动的时间，注意两种运动情况的运动遵循的规律，特别是在C点的速度即是上一段的末速度也是下一段的初速度，利用关系式和几何关系灵活求解．

解答 解：设AB的长度为l，∠BAC=α，由几何关系可得：
AC的长度为lcosα，CB的长度为：
lsinα…①
小球沿AB做自由落体运动，运动的时间为t：有：
$l=\frac{1}{2}g{t^2}$…②
设AC段所用时间为t₁，CB段所用时间为t₂，由题可知：
t₁+t₂=1.5t…③
小球沿AC段运动时，加速度为a₁，由牛顿第二定律可得：
mgcosα=ma₁…④
且：
$lcosα=\frac{1}{2}gcosα&{t_1}^2$…⑤
联立②③⑤，可得：
t₁=t，t₂=0.5t；…⑥
小球在C点的速度为：
v=gcosα&t₁…⑦
沿CB做匀加速运动，加速度为a₂，由牛顿第二定律可得：
mgsinα=ma₂…⑧
且：
$lsinα=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$…⑨
联立解得：α=53°．
答：AB与AC的夹角为53°．

点评 本题的关键是能正确对ABC进行受力和运动分析，把运动的时间正确表示；可视为多过程的运动分析，一定明确前后过程的衔接物理量．