Question

12．如图所示，空间存在水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，将质量为m，带电量为q的一带电小球从A点由静止释放，小球在重力和磁场力的作用下的运动可看作是向右匀速直线运动与逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，重力加速度为g，小球在运动过程中不会和地面相碰，空气的阻力不计．则（　　）

• A． 小球运动到最低点时速度大小为$\frac{2mg}{qB}$
• B． 小球下降的最大高度为$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
• C． 小球从释放到第一次回到与A等高处的过程中，磁场力对小球先做正功后做负功
• D． 小球从释放到第一次回到与A等高处所用时间为$\frac{2πm}{qB}$

Answer 1

分析 该题中，小球从A点出发，先向下运动，然后在洛伦兹力的作用下，运动的轨迹发生偏转，由题可知，若将小球的运动看做是在重力和磁场力的作用下，是向右匀速直线运动与逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，则小球的运动具有周期性与对称性，小球的受力也具有周期性与对称性，小球在最高点与最低点受到的合力的方向相反，大小相等．分析小球受到的合外力提供向心力，即可求出小球在最低点的速度，然后由机械能守恒即可求出小球下落的高度，由小球在磁场中做圆周运动的特点，即可求出周期．

解答 解：A、由题意，可以将小球的运动可以看做是在重力和磁场力的作用下，是向右匀速直线运动与逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，则小球的运动具有周期性与对称性，小球在最高点与最低点受到的合力的方向相反，大小相等．
小球在最高点的速度为0，只受到的重力的作用，方向向下，可知小球在最低点时，小球受到的洛伦兹力与重力的合力方向向上，大小也等于重力，即：qvB-mg=mg，所以：$v=\frac{2mg}{qB}$．故A正确；
B、小球下降的过程中，只有重力做功，洛伦兹力不做功，可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．故B正确；
C、由于洛伦兹力的方向始终与运动的方向垂直，所以小球从释放到第一次回到与A等高处的过程中，磁场力对小球一直不做功．故C错误；
D、由于小球的运动可以看做是向右匀速直线运动与逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，小球从释放到第一次回到与A等高处所用时间就等于小球做完一个圆周运动所用的时间，为t=T=$\frac{2πm}{qB}$．故D正确．
故选：ABD

点评 该题考查带电粒子在重力和洛伦兹力的作用下的运动，由于洛伦兹力的大小随速度发生变化，洛伦兹力的方向也随速度的方向发生变化，所以通常的方法是使用偏微分方程来解答．该题中，由于题目给出了“小球在重力和磁场力的作用下的运动可看作是向右匀速直线运动与逆时针方向的匀速圆周运动的合运动”的特殊的方法，因此，可以结合运动的周期性和对称性，以及受力的周期性与对称性进行解答．