Question

6．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示．
（1）组装单摆时，应在下列器材中选用AD（选填选项前的字母）．
A．长度为1m左右的细线
B．长度为30cm左右的细线
C．直径为1.8cm的塑料球
D．直径为1.8cm的铁球
（2）测出悬点O至小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g=$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}L}{{t}^{2}}$（用L、n、t 表示）．
（3）如表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．

组次	1	2	3
摆长L/cm	80.00	90.00	100.00
50次全振动时间t/s	90.0	95.5	100.5
振动周期T/s	1.80	1.91
重力加速度g/（m•s-2）	9.74	9.73

请计算出第3组实验中的T=2.01s，g=9.76m/s²．
（4）用多组实验数据做出T²-L图象，也可以求出重力加速度g，已知三位同学做出的T²-L图线的示意图如图2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是B（选填选项前的字母）．
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
（5）某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图3所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l₁、l₂时，测得相应单摆的周期为T₁、T₂．由此可得重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$（用l₁、l₂、T₁、T₂表示）．

Answer 1

分析 （1）根据实验要求，摆长1m左右，体积较小的实心金属球；
（2）根据单摆周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$求解g的表达式．
（3）单摆完成N次全振动的时间为t，所以T=$\frac{t}{n}$，根据g=$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}L}{{t}^{2}}$即可计算出重力加速度；
（4）根据单摆的周期公式变形得出T²与L的关系式，再分析T²-L图象中g与斜率的关系，得到g的表达式．根据重力加速度的表达式，分析各图线与b之间的关系．
（5）根据单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$分两次列式后联立求解即可．

解答 解：（1）单摆在摆动过程中．阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选钢球；摆长不能过小，一般取1m左右．故A、D正确，B、C错误．
故选：AD．
（2）单摆完成N次全振动的时间为t，所以T=$\frac{t}{n}$，测得悬点O至小球球心的距离（摆长）L，根据T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$解得：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}=\frac{4{n}^{2}{π}^{2}L}{{t}^{2}}$；
（3）单摆完成N次全振动的时间为t，所以T=$\frac{t}{n}$=$\frac{100.5}{50}=2.01$s，
根据公式：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}=\frac{4×3.1{4}^{2}×1.0000}{2.0{1}^{2}}=9.76m/{s}^{2}$
（4）根据单摆的周期公式T=2$π\sqrt{\frac{L}{g}}$得，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$，根据数学知识可知，T²-L图象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，当地的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$．
A、若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度l，则有T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}=\frac{4{π}^{2}（l+r）}{g}=\frac{4{π}^{2}l}{g}+\frac{4{π}^{2}r}{g}$，根据数学知识可知，对T²-L图象来说，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$$+\frac{4{π}^{2}r}{g}$与b线T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$斜率相等，两者应该平行，$\frac{4{π}^{2}r}{g}$是截距；故做出的T²-L图象中a线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L．故A错误；
B、实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小．故B正确；
C、由图可知，图线c对应的斜率k偏小，根据T²-L图象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，当地的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$可知，g值大于图线b对应的g值．故C错误．
故选：B．
（5）根据单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，设A点到锁头的重心之间的距离为l₀，有：
第一次：T₁=2π$\sqrt{\frac{{l}_{1}+{l}_{0}}{g}}$
第二次：T₂=2π$\sqrt{\frac{{l}_{2}+{l}_{0}}{g}}$
联立解得：g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$
故答案为：（1）AD；（2）$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}L}{{t}^{2}}$；（3）2.01，9.76；（4）B；（5）$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$．

点评 该题全面考查重力加速度的测量、数据的处理以及误差的分析，要掌握单摆的周期公式，从而求解重力加速度，摆长、周期等物理量之间的关系．