Question

11．如图，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭，A侧空气柱的长度为l=10.0cm，B侧水银面比A侧的高h=3.0cm．现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为h₁=10.0cm时将开关K关闭．已知大气压强p₀=75.0cmHg．
（i）求放出部分水银后A侧空气柱的长度；
（ii）此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度．

Answer 1

分析 （i）在同一段水银柱中，同一高度压强相等；先计算出A侧气体的初状态气压和末状态气压，然后根据玻意耳定律列式求解；
（ii）两侧水银面等高后，根据玻意耳定律求解气体的体积；比较两个状态，结合几何关系得到第二次注入的水银柱的长度．

解答 解：（i）以cmHg为压强单位．设A侧空气柱长度l=10.0cm时压强为p，当两侧的水银面的高度差为h₁=10.0cm时，空气柱的长度为l₁，压强为p₁，由玻意耳定律，有：
pl=p₁l₁        ①
由力学平衡条件，有：
p=p₀+h         ②
打开开关放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为p₀，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随着减小，直至B侧水银面低于A侧水银面h₁为止，由力学平衡条件，有：
p₁=p₀-h₁       ③
联立①②③，并代入题目数据，有：
l₁=12cm         ④
（ii）当A、B两侧的水银面达到同一高度时，设A侧空气柱的长度为l₂，压强为P₂，由玻意耳定律，有：
pl=p₂l₂      ⑤
由力学平衡条件有：
p₂=p₀       ⑥
联立②⑤⑥式，并代入题目数据，有：
l₂=10.4cm       ⑦
设注入水银在管内的长度为△h，依题意，有：
△h=2（l₁-l₂）+h₁    ⑧
联立④⑦⑧式，并代入题目数据，有：
△h=13.2cm
答：（i）放出部分水银后A侧空气柱的长度为12cm；
（ii）注入的水银在管内的长度为13.2cm．

点评 本题中封闭气体经历两次等温过程，关键是找出初状态和末状态的气压和体积（长度）关系，然后根据玻意耳定律列式求解，不难．