Question

2．2013年12月1日1时30分，我国成功发射了“嫦娥三号”月球探测器．设“嫦娥三号”月球探测器（含火箭）的总质量为M，在发射升空的初始阶段，可认为火箭竖直向上运动，重力加速度g不变，经过时间t，火箭速度达到v．（由于喷出气体的质量相对于火箭和“嫦娥三号”月球探测器的总质量微不足道，在喷气过程中可认为火箭和“嫦娥三号”月球探测器的总质量不变）
（1）求时间t内火箭喷出的气体对“嫦娥三号”月球探测器的冲量；
（2）若时间t内火箭的运动可视为匀加速直线运动，求时间t内火箭上升的高度．
（3）若在火箭竖直上升过程中某很短的△t时间内向下喷出的速度为v₀的气体的质量为△m（重力忽略不计），求火箭上升的加速度．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可得气体对“嫦娥三号”月球探测器的作用力，进而由冲量表达式I=Ft可得结果．
（2）由运动学位移表达式可求时间t内火箭上升的高度．
（3）由动量守恒可得火箭动量变化，动量定理可求气体对火箭的作用力，进而有牛顿第二定律可得火箭上升的加速度．

解答 解：（1）由牛顿第二定律可得：F-Mg=Mg，解得：F=2Mg，故火箭喷出的气体对“嫦娥三号”月球探测器的冲量为：I=Ft=2Mgt；
（2）时间t内火箭上升的高度为：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$．
（3）由动量守恒：（M-△m）•△v=△m•v₀；
对火箭：F△t=（M-m）△v=△mv₀；
解得：F=$\frac{△m•{v}_{0}}{△t}$；
由牛顿第二定律可得：
$a=\frac{F}{M-m}=\frac{△m•{v}_{0}}{（M-m）•△t}$．
答：（1）时间t内火箭喷出的气体对“嫦娥三号”月球探测器的冲量为2Mgt；
（2）若时间t内火箭的运动可视为匀加速直线运动，时间t内火箭上升的高度为$\frac{1}{2}g{t}^{2}$．
（3）若在火箭竖直上升过程中某很短的△t时间内向下喷出的速度为v₀的气体的质量为△m（重力忽略不计），火箭上升的加速度$\frac{△m•{v}_{0}}{（M-m）•△t}$．

点评 该题综合运动学，动量守恒定律，动量定理等知识点，但是难度比较小，是基础题目．