Question

17．如图为固定在水平面上的三角形斜劈，斜劈的倾角为α=45°，斜批的顶端距离水平面的离度为4m，在斜劈的上方的竖直面内放置一如图所示的摩擦可忽略不计的管道，其中OA段为长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m，倾角为θ=60°的直管道，在A点平滑衔接一半径为$\frac{2}{3}$的圆管，轨道的末端与水平垂直，并且圆管的最低点B，轨道的末端C与斜劈的顶端D在同一水平线上，现将一视为质点的质量为m=0.1kg小球有管道的最高点O无初速释放，经过一段时间小球与斜劈发生无能量的损失碰撞，且碰后的速度变为水平，重力加速度g=10m/s²，不计一切阻力和能量的损失，不计管道直径求：
（1）小球在最低点时对圆管的压力为多大？
（2）如果沿水平方向移动斜劈的位置，当CD两点间的距离为多少时，小球与斜劈碰后的落地点与碰撞点间的水平距离最大？最大值为多大？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理和向心力公式列式求解．
（2）根据机械能守恒定律，小球在B、C两点的速度大小相等，由动能定理求出小球与斜面碰撞的速度，大小等于平抛的初速度，根据平抛运动的规律表示出水平位移的函数表达式，用数学知识求最大值．

解答 解：（1）从O→B根据动能定理得：
$mg（OA+R+Rsin30°）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
代入数据解得：v=$2\sqrt{10}$m/s
根据向心力公式得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入数据解得：${F}_{N}^{\;}=7N$
根据牛顿第三定律小球在最低点对圆管的压力为：${F}_{N}^{′}=7N$
（2）因为B、C两点等高，小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，所以B、C两点的速度大小相等，根据几何关系知CD两点的距离等于C点与斜面碰撞点之间的距离，设CD为l，斜劈高4m，所以平抛运动的竖直位移：y=4-l
根据动能定理：$mgl=\frac{1}{2}mv{′}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：$v'=\sqrt{{v}_{\;}^{2}+2gl}=\sqrt{40+20l}$
平抛运动的水平位移为：x=v′t
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
联立得：$x=2\sqrt{-{l}_{\;}^{2}+2l+8}$
当l=1m时x有最大值为：${x}_{max}^{\;}=4m$
答：（1）小球在最低点时对圆管的压力为7N
（2）如果沿水平方向移动斜劈的位置，当CD两点间的距离为1m时，小球与斜劈碰后的落地点与碰撞点间的水平距离最大，最大值为4m

点评 本题综合考查了动能定理、向心力公式及平抛运动的规律，阅读量较大，设计巧妙，是一道体现新课改理念的好题．