Question

14．如图所示，在一个内壁光滑的平底试管内部装有一个质量为1kg的小球，试管的开口处装一转轴，轴到管底小球的距离为5cm，使试管在竖直平面内作圆周运动．（g取10m/s²）
（1）若试管在竖直平面内做的是变速圆周运动，则小球恰好能通过最高点时的速度是多少？
（2）若试管在竖直平面内做的是匀速圆周运动，转动中试管底部受到小球压力的最大值是最小值的3倍，求此时的角速度．
（3）若试管在竖直平面内做的是匀速圆周运动，当角速度ω=$\frac{30rad}{s}$时，管底对小球压力的最大值与最小值分别是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点，靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出小球恰好通过最高点的速度大小．
（2）小球在最高点，球对管底的压力最小，在最低点，球对管底的压力最大，根据牛顿第二定律，联立求出角速度的大小．
（3）根据牛顿第二定律求出管底对小球压力的最大值和最小值．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点的条件：试管底部对小球刚好没有力的作用$mg=m\frac{v^2}{R}$，
 解得 $v=\sqrt{gR}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}m/s$．
（2）在试管做匀速圆周运动的时候，小球始终处在试管底部．
设小球在最高点时对试管的压力为F：F+mg=mω²R，
小球在最低点时对试管的压力为3F：3F-mg=mω²R，
代入数据，利用上两式解得ω=20rad/s．
（3）当角速度ω=30rad/s时，设小球在最高点时对试管的压力为F₁，
根据牛顿第二定律有：${F_1}+mg=m{ω^2}R$，
代入数据解得F₁=35N
设小球在最高点时对试管的压力为F₂，
根据牛顿第二定律有：${F_2}-mg=m{ω^2}R$，
代入数据解得F₂=55N．
答：（1）小球恰好能通过最高点时的速度是$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s；
（2）角速度为20rad/s；
（3）管底对小球压力的最大值与最小值分别是55N、35N．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，知道最高点的临界情况是压力为零，靠重力提供向心力．