Question

5．有一倾角为θ=37°的斜面，其上底端固定且劲度系数为k=120N/m的轻质弹簧，弹簧与斜面间无摩擦．一个质量为m=1kg的物块在此斜面上，从P点由静止开始滑下，已知物块与斜面间的动摩擦因数为?=0.5，P点块与弹簧自由端间的距离为L=1m．弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为E_p=$\frac{1}{2}$kx²，g取10m/s²．求：
（1）木块从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间t；
（2）木块运动过程中速度达到最大时弹簧的压缩量是多大？
（3）若使木块在P点以初速度υ₀下滑后又恰好回到P点，则υ₀需多大？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出木块的加速度，然后由匀变速直线运动的位移公式求出运动时间．
（2）当木块合力为零时速度最大，由平衡条件求出弹簧的压缩量．
（3）对木块从P点下滑过程与回到P点过程应用动能定理可以求出初速度．

解答 解（1）对木块，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma，
代入数据解得：a=2m/s²，
由匀变速直线运动的位移公式得：
L=$\frac{1}{2}$at²，代入数据解得：t=1s；
（2）物块受到最大时，物块受到的合外力为零，
则：mgsinθ-μmgcosθ=kx，代入数据解得：x=$\frac{1}{60}$m≈0.017m；
（3）物块从开始运动到最低点过程，由动能定理得：
mgsinθ（l+x₁）-μmgcosθ（l+x₁）-$\frac{1}{2}$kx₁²=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
从最低点回到P点时的速度为0，由动能定理得：
$\frac{1}{2}$kx₁²-mgsinθ（l+x₁）-μmgcosθ（l+x₁）=0-0，
代入数据解得：x₁=0.5m，v₀=2$\sqrt{6}$m/s；
答：（1）木块从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间t为1s；
（2）木块运动过程中速度达到最大时弹簧的压缩量是0.017m
（3）若使木块在P点以初速度υ₀下滑后又恰好回到P点，则υ₀需2$\sqrt{6}$m/s．

点评 本题考查了求木块的运动时间、弹簧的压缩量、初速度，分析清楚木块的运动过程，应用牛顿第二定律、平衡条件、动能定理、运动学公式 即可正确解题．