题目内容

6．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A．当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，使物块能保持静止的弹簧的最大长度为$\frac{5L}{4}$．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小，转动过程中弹簧始终在弹性限度内，则：
（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的角速度为多大时，物块A将开始滑动？
（2）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，小物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度的范围．

分析 （1）当圆盘静止时，根据平衡，结合胡克定律求出物块所受的最大静摩擦力，当弹簧处于原长时，根据牛顿第二定律求出物块发生滑动时圆盘的角速度大小．
（2）当圆盘的角速度最小时，小物块受到的摩擦力fm与弹簧的拉力方向相反，当圆盘转动的角速度最大时，小物块受到的摩擦力fm与弹簧的拉力方向相同，
根据牛顿第二定律求出圆盘角速度的范围．

解答 解：（1）当圆盘静止时，把弹簧拉长后将小物块放在圆盘上，使小物块保持静止的弹簧最大长度为$\frac{5L}{4}$，
所以小物块受到的最大静摩擦力${f}_{m}=\frac{kL}{4}$，
当弹簧处于原长，根据${f}_{m}=mL{ω}^{2}$得，
$ω=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$．
（2）当圆盘转动的角速度最小时，小物块受到的摩擦力fm与弹簧的拉力方向相反，
有：$\frac{kL}{2}-{f}_{m}=m{{ω}_{1}}^{2}\frac{3}{2}L$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{k}{6m}}$．
当圆盘转动的角速度最大时，小物块受到的摩擦力fm与弹簧的拉力方向相同，
有：$\frac{kL}{2}+{f}_{m}=m{{ω}_{2}}^{2}•\frac{3}{2}L$，
解得${ω}_{2}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
则角速度ω应满足$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
答：（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的角速度为$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$时，物块A将开始滑动；
（2）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，小物块与圆盘能一起匀速转动，转动角速度的范围为$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

点评 解决本题的关键知道物块做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．

练习册系列答案
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D．沿各个斜面的运动时间各不一样
1．一个人沿着半径是40m的圆形喷水池边散步，当他走了3圈半时，他的位移大小和经过的路程约是（　　）
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14．物体沿一条直线运动，下列说法正确的是（　　）
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C．物体在某一段时间内的平均速度是3m/s，则物体在1 s内的位移一定是3m
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1．如图所示．小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动．下列关于A的受力情况说法正确的是（　　）
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11．如图所示是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R的圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b分别作为入射孔和出射孔．现有一束质量为m、电荷量为q的正离子，以角度α入射，不经碰撞而直接从小孔b射出，这束离子的速度大小是（　　）
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