Question

14．下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数减小为μ₁，而B、C间的动摩擦因数减小为μ₂，A、B开始以相同的加速度一起运动，此时刻为计时起点；在t时刻，B的上表面突然变为光滑，B、C间的动摩擦因数保持不变．已知刚开始运动时，A离B下边缘的距离为l，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
（1）在t时间内A、B加速度的大小；
（2）在t时间内A对B摩擦力的大小和方向；
（3）A在B上相对滑动的时间．

Answer 1

分析 （1）在t时间内AB一起匀加速运动，对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律可以求出加速度的大小；
（2）对A，根据牛顿第二定律列式，求解B对A的摩擦力，再由牛顿第三定律得到A对B摩擦力．
（3）在t时刻以后AB相对滑动，根据牛顿第二定律求得A、B的加速度的大小，利用它们之间关系可以计算A在B上相对滑动的时间

解答 解：（1）在t时间内AB一起匀加速运动，对A、B整体，根据牛顿第二定律得
   a=$\frac{2mgsinθ-{μ}_{2}•2mgcosθ}{2m}$=gsinθ-μ₂cosθ
（2）对A物体有
   mgsinθ-f=ma
解得 f=μ₂mgcosθ，方向沿斜面向上
根据牛顿第三定律知，A对B摩擦力的大小是μ₂mgcosθ，方向沿斜面向下；
（3）B的上表面突然变为光滑后，A的加速度为 a₁=gsinθ
B的加速度为 a₂=$\frac{mgsinθ-{μ}_{2}•2mgcosθ}{m}$=gsinθ-2μ₂gcosθ
A相对B的初速度为0，加速度为 a′=2μ₂gcosθ
由 l=$\frac{1}{2}a′t{′}^{2}$得：
A在B上相对滑动的时间  t′=$\sqrt{\frac{l}{{μ}_{2}gcosθ}}$
答：
（1）在t时间内A、B加速度的大小都为gsinθ-μ₂cosθ；
（2）在t时间内A对B摩擦力的大小是μ₂mgcosθ，方向沿斜面向下；
（3）A在B上相对滑动的时间是$\sqrt{\frac{l}{{μ}_{2}gcosθ}}$．

点评 本题要分析清楚物体的运动的情况和受力的情况，根据牛顿第二定律和运动学的公式来求解．要注意B的上表面突然变为光滑后，B对斜面的压力不变．