Question

5．如图所示，在水平面内的直角坐标系xOy的第一象限有一磁场，方向垂直水平面向下，磁场沿y轴方向分布均匀，沿*轴方向磁感应强度S随坐标x增大而减小，满足B=$\frac{1}{x}$（T）．一“∠”型光滑金属导轨固定在水平面内，MON顶角为45°，-条边与x轴重合．一根质量为2kg的导体棒放在导轨上，导体棒与导轨接触电阻恒为 0.5Ω，导体棒及导轨其它部分电阻不计，导体棒最初处于原点0位置，某时刻给导体棒施加一个水平向右的外力作用，导体棒从静止沿x轴正方向运动，运动过程中回路中产生的感应电动势E与时间t的关系为E=3t（V）．求：
（1）2s时间内流过回路横截面的电量q；
（2）导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据欧姆定律，由电动势求得电流，进而得到平均电流，然后就可计算电荷量；
（2）由电动势求得速度的表达式，进而得到加速度；然后根据导体棒的受力分析，利用牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）运动过程中回路中产生的电动势E与实践t的关系为：E=3t（单位V），那么回路中的电流为：$I=\frac{E}{R}=6t$（单位A）；
那么2s末的电流为：I=2×2=12A
在2s内的平均电流为：$\overline{I}=\frac{12}{2}A=6A$，
所以，2s内回路中流过的电荷量为：$q=\overline{I}t=6×2=12\\;C$C；
（2）由于导轨的夹角为45°，所以在x处棒切割磁感线接入电路的长度也是x；导体棒在x处时电动势为：$E=Blv=\frac{1}{x}×x×v=3t$，
所以，在x处的速度为：v=3t；
那么棒的加速度为：a=3m/s²，
所以，导体棒所受合外力为：F_合=ma=6N；
棒的位移为：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=1.5{t}^{2}$；
导体棒受到的安培力为${F}_{安}=BIl=\frac{1}{x}×6t×x=6t$=$2\sqrt{6}x$（单位N），
导体棒在运动过程中只受外力F和安培力的作用，所以，外力为：F=F_合+F_安=6+$2\sqrt{6}x$；
答：（1）2s内回路中流过的电荷量q为12 C；
（2）导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式为F=6+$2\sqrt{6}x$．

点评 闭合电路切割磁感线的问题中，一般求解电量都是通过求解平均电流来求解；而求解发热量、做功一般应用能量守恒定律求解．