Question

20．如图所示，一根粗细均匀的长为4L直杆竖直固定放置，其上套有A、B两个可看做质点的小圆环A、B，质量分别为m_A=4m，m_B=m，杆上P点上方是光滑的且长度为L；P点下方是粗糙的，杆对两环的滑动摩擦力大小均等于环各自的重力．开始环A静止在P处，环B从杆的顶端由静止释放，B 与A发生碰撞的时间极短，碰后B的速度方向向上，速度大小为碰前的$\frac{3}{5}$．求：
（1）B与A发生第一次碰撞过程是否有机械能损失．
（2）通过计算说明B与A能否在杆上发生第二次碰撞．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出B自由下落L时速度，A，B组成的系统动量守恒列出等式求出AB碰撞后的速度大小，从而判断发生第一次碰撞过程是否有机械能损失．
（2）碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，B返回到P点时，速度大小仍然为v_B，此后，B也做匀速运动，由于v_B＞v_A，所以B与A可能会发生第二次碰撞，对物体进行运动分析，运用运动学公式求解碰撞的位置．

解答 解：（1）设B自由下落L时速度为v₀，由机械能守恒定律
${m}_{B}gL=\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{0}}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$
设B与A碰撞后瞬间，B的速度大小为v_B，A的速度大小为v_A，A、B组成的系统动量守恒，规定向下的方向为正．
m_Bv₀=-m_Bv_B+m_Av_A
将${v}_{B}=\frac{3}{5}{v}_{0}$
代入上式解得：${v}_{A}=\frac{2}{5}{v}_{0}$
损失的机械能：$△E=\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}$=0，则机械能守恒，
（2）碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，B返回到P点时，速度大小仍然为v_B，此后，B也做匀速运动，由于v_B＞v_A，所以B与A可能会发生第二次碰撞．
设A、B第一次碰撞后经时间t发生第二次碰撞，B做竖直上抛运动返回到P点经历的时间为t₁，则：
A的位移：s_A=v_At
B匀速运动的位移：s_B=v_B（t-t₁）
${t}_{1}=\frac{2{v}_{B}}{g}$
由s_A=s_B
解得：$t=\frac{18{v}_{0}}{5g}$
${s}_{A}=\frac{36{{v}_{0}}^{2}}{25g}=\frac{72}{25}L$
因s_A＜3L
所以，A、B能发生第二次碰撞，碰撞的位置在P点下方$\frac{72}{25}L$．
答：（1）B与A发生第一次碰撞过程没有机械能损失．
（2）B与A能在杆上发生第二次碰撞，碰撞的位置在P点下方$\frac{72}{25}L$．

点评 解决该题关键要进行A、B的运动分析，正确找出其位置关系，运用系统动量守恒、机械能守恒定律、运动学公式求解，难度适中．