Question

8．如图甲所示，A₁是边长为L的单匝正方形金属框，框内有垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度B₁的大小随时间的关系如图乙．M、N为平行板电容器的两个极板，其长度和间距都为L，在两板右端的虚线右侧有范围足够大、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B₂=$\frac{3}{4}$B₀；在两板左边缘中央处有一粒子发射器A₂，从t=0时刻开始连续不断地水平向右发射比荷为$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{{B}_{0}{t}_{0}}$、初速度为v₀=$\frac{L}{2{t}_{0}}$带正电的粒子．已知电路中金属框电阻为R₀，接入电路的滑动变阻器阻值R=R₀，其余电阻不计．（不考虑带电粒子的重力和空气阻力，不考虑电容器充放电所用的时间）．则：

（1）在0～t₀内，极板M、N哪一个板电势高，两板间的电压U为多大？
（2）通过计算判断，在t=0时刻发射的带电粒子，能否经电、磁场偏转后回到两平行板间？
（3）何时发射的且不与极板碰撞的粒子在磁场中运动的时间最长，其 最长时间为多大？

Answer 1

分析 （1）根据楞次定律来判定感应电流方向，从而确定电势的高低，并由法拉第电磁感应定律，即可求解；
（2）根据运动学公式，结合牛顿第二定律，及洛伦兹力提供向心力，即可求解；
（3）根据粒子做匀速圆周运动，结合圆弧对应的圆心角，及周期公式，即可求解．

解答 解：（1）由楞次定律可知0～t₀内，N板电势高，由法拉第电磁感应定律得金属框产生的感应电动势大小为：
$E=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B{L}^{2}}{△t}$                                       
由图乙知：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$                                
由电路的连接特点知电容器的电压：
$U=\frac{E}{2}$                                            
解得：$U=\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$                                     
（2）粒子在平行板电容器内水平方向做匀速直线运动，运动时间为：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=2{t}_{0}$                                          
在竖直方向粒子先匀加速后匀减速其位移为：
  $y=2×\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$                             
又由牛顿第二定律有：
$\frac{qU}{L}=ma$                                        
解得：y=$\frac{L}{2}$                                         
即粒子从M板右端水平进入磁场，其速度大小为：
v=v₀=$\frac{L}{2{t}_{0}}$                                            
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：
${B}_{2}qv=m\frac{{v}^{2}}{r}$                                    
粒子离开磁场的位置到M板右端的距离为：
L′=2r                                         
解得：L′=$\frac{4}{3}L＞L$  即粒子不能第二次进入两板间         
（3）由分析知：
在t=2t₀+3nt₀（n=0、1、2…）时发射的粒子在磁场中运动的时间最长  
该粒子竖直方向的速度为：
v_y=at₀=v₀                                               
即粒子进入磁场时速度方向与虚线边界的夹角为$θ=\frac{π}{4}$             
又粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8}{3}π{t}_{0}$               
最长时间为t′=$\frac{2π-2θ}{2π}T$=2πt₀                               
答：（1）在0～t₀内，极板M、N哪一个板电势高，两板间的电压U为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$；
（2）通过计算判断，在t=0时刻发射的带电粒子，不能经电、磁场偏转后回到两平行板间；
（3）何时发射的且不与极板碰撞的粒子在磁场中运动的时间最长，其最长时间为2πt₀．

点评 考查粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，掌握运动处理的规律，理解这两种处理的方法，注意几何关系圆心角求得最长时间．