Question

2．在2014年底，我国不少省市ETC联网正式启动运行，ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以正常行驶速度v₁=16m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d=8m处正好匀减速至v₂=4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v₁正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t₀=25s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v₁正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a₁=2m/s²，和a₂=1m/s²．求：

（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小； 
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v₁时节约的时间△t是多少？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出加速和减速的位移，以及匀速运动的位移大小求出总位移．
（2）根据匀变速直线运动的速度时间公式求出匀加速和匀减速运动的时间，结合通过ETC通道和人工收费通道的时间求出节约的时间．

解答 解：（1）汽车通过ETC通道时：
匀减速过程：${x_1}=\frac{{{v}_1^2-{v}_2^2}}{{2{a_1}}}=60m$
匀加速过程：${x_2}=\frac{{{v}_1^2-{v}_2^2}}{{2{a_2}}}=120m$
汽车的总位移：x=x₁+d+x₂=188m
（2）汽车通过ETC通道时：
匀减速过程：${t_1}=\frac{{{v}_1^{\;}-{v}_2^{\;}}}{a_1}=6s$
匀速过程：${t_2}=\frac{d}{{{v}_2^{\;}}}=2s$
匀加速过程：${t_3}=\frac{{{v}_1^{\;}-{v}_2^{\;}}}{a_2}=12s$
汽车通过ETC通道的总时间：t=t₁+t₂+t₃=20s
汽车通过人工收费通道时：
匀减速过程：${t'_1}=\frac{{{v}_1^{\;}}}{a_1}=8s$
匀加速过程：${t'_2}=\frac{{{v}_1^{\;}}}{a_2}=16s$
通过的位移：${x}_{2}′=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}=128m$
汽车通过人工通道的总时间：t′=t′₁+t₀+t′₂=49s
汽车节约的时间：△t=t′-t=29s
答：（1）从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为188m．
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v₁时节约的时间△t是29s．

点评 解决本题的关键理清汽车在两种通道下的运动规律，结合匀变速直线运动的位移公式和时间公式进行求解，难度不大．