Question

5．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到$\sqrt{2}$v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为10：1，半径比约为2：1，下列说法正确的有（　　）

• A． 探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大
• B． 探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
• C． 探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
• D． 探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大，加速度逐渐变大

Answer 1

分析 根据万有引力定律比较探测器在火星表面和在地球表面的引力大小，根据万有引力提供向心力得出各自周期的表达式，比较即可，${v}_{发射}^{\;}=\sqrt{2}v$，根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，求出绕火星和绕地球的运行速度大小关系，从而得到发射速度大小关系，高度越大势能越大．

解答 解：AC、根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$与探测器质量无关，脱离星球表面所需的发射速度${v}_{发射}^{\;}=\sqrt{2}v$，$\frac{{v}_{地发}^{\;}}{{v}_{火发}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}×\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，脱离地球所需的发射速度大，故AC错误；
B、探测器绕星球表面做匀速圆周运动的向心力由星球对它的万有引力提供，设星球质量为M，探测器质量为m，运行轨道半径为r，星球半径为R，根据万有引力定律有：$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，在星球表面时r=R，所以探测器在地球表面和火星表面受到的引力之比为：$\frac{{F}_{地}^{\;}}{{F}_{火}^{\;}}=\frac{G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}}{G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}}$=$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}×\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$．所以探测器在地球表面受到的引力比在火星表面大，故B正确；
D、探测器脱离星球的过程中，高度逐渐增大，其势能逐渐增大，根据牛顿第二定律$a=\frac{F}{m}=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$，距离变大，加速度减小，故D错误；
故选：B

点评 对于卫星类型，关键是建立模型，向心力是由万有引力提供，向心力根据条件选择合适的公式，注意在天体表面意味着轨道半径等于该天体的半径．