Question

7．如图所示，有一平行板电容器左边缘在y轴上，下极板与x轴重合，极板间匀强电场的场强为E，一电量为q，质量为m的带电粒子．速度大小为$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$，从O点与x轴成θ角斜向上射入极板间，粒子经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，立即进入一磁感应强度为B的圆形磁场（图中未画），随后从c点垂直穿过x轴离开磁场．已知∠aco=45°，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，磁场方向垂直于坐标平面向外，且磁场与电容器不重合，带电粒子重力不计，试求：
（1）K极板所带电荷的电性；
（2）粒子经过c点时速度大小
（3）圆形磁场区域的最小面积
（4）粒子从O到c所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据左手定则和运动轨迹即可判断
（2）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，把速度分解到沿x轴方向和沿y轴方向，根据几何关系求出到达a点的速度；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，求出圆周运动的半径，再根据几何关系求出ac的长度，ac即为圆形磁场的最小直径，根据圆的面积公式求出最小面积．
（4）粒子从O到a，在y轴方向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，根据速度的分解求出沿y轴的初速度，进而求出运动的时间，粒子从a到c的过程中，运动的时间为$\frac{1}{4}$T，两段时间之和即为所求时间．

解答 解：（1）在磁场中，由左手定则可知粒子带正电，由粒子在电容器间运动时，向L极板偏转，所以K板带正电
（2）带电粒子在电容器中做匀变速曲线运动，在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

粒子在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀减速直线运动，经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器，
则粒子在x轴上的分量为 v_a=vcosθ=$\sqrt{3}$$\frac{E}{B}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{E}{B}$，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则到达c点时速度大小为 v_c=$\frac{E}{B}$．
（2）粒子从c点垂直穿过x轴离开磁场，又已知∠acO=45°，所以粒子在磁场中运动轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧
则圆形磁场直径最小为ac的长度，根据几何关系得：
 ac=$\sqrt{2}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：
 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{c}}{qB}$=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$
所以 ac=$\frac{\sqrt{2}mE}{{B}^{2}q}$
则圆形磁场区域的最小面积S=（$\frac{ac}{2}$）²π=$\frac{π{m}^{2}{E}^{2}}{2{B}^{4}{q}^{2}}$
（4）粒子从O到a，在y轴方向上做匀减速直线运动，加速度大小 a=$\frac{qE}{m}$
则粒子从O到a运动的时间 t₁=$\frac{vsinθ}{a}$=$\frac{\sqrt{2}m}{Bq}$
粒子从a到c的过程中，运动的时间为 t₂=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{πm}{2Bq}$
则粒子从O到c所经历的时间t=t₁+t₂=$\frac{（2\sqrt{2}+π）m}{2Bq}$
答：（1）K极板所带电荷的电性是正电；
（2）粒子经过c点时速度大小为$\frac{E}{B}$．
（3）圆形磁场区域的最小面积是$\frac{π{m}^{2}{E}^{2}}{2{B}^{4}{q}^{2}}$．
（4）粒子从O到c所经历的时间为$\frac{（2\sqrt{2}+π）m}{2Bq}$．

点评 本题是一道力学综合题，考查了粒子在电场、磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．