Question

4．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，棒ab和cd的有效电阻分别为R和2R．回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动过程棒ab产生的焦耳热最多是多少？
（2）当ab棒的速度变为初速度的$\frac{4}{5}$时，棒cd的速度和加速度分别是多少？

Answer 1

分析 （1）由动量守恒定律求解共同速度，根据能的转化和守恒定律和能量分配关系求解ab产生的焦耳热；
（2）根据动量守恒定律求解棒cd的速度，根据牛顿第二定律求解加速度．

解答 解：（1）当两棒速度相等时系统产生的焦耳热最多；在运动过程中两棒总动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：mυ₀=2mυ　　　　
得共同速度为：υ=$\frac{1}{2}$υ₀
根据能的转化和守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mυ₀²-$\frac{1}{2}$•2mυ²=$\frac{1}{4}$mυ₀²．
所以在运动过程棒ab产生的焦耳热最多是为：Q_R=$\frac{R}{R+2R}Q$=$\frac{1}{12}$mυ₀²；
（2）当ab棒的速度变为初速度的$\frac{4}{5}$时，即v₁=$\frac{4}{5}{v}_{0}$，设cd棒的速度为v₂，根据动量守恒定律可得：mυ₀=mv₁+mv₂　
解得：v₂=$\frac{1}{5}{v}_{0}$；
根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势为：E=BL（v₁-v₂）=$\frac{3}{5}{BLv}_{0}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流为：I=$\frac{E}{3R}=\frac{BL{v}_{0}}{5R}$，
根据牛顿第二定律可得棒cd的加速度为：a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{5mR}$．
答：（1）在运动过程棒ab产生的焦耳热最多是$\frac{1}{12}$mυ₀²；
（2）当ab棒的速度变为初速度的$\frac{4}{5}$时，棒cd的速度为$\frac{1}{5}{v}_{0}$，加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{5mR}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．