题目内容

15．如图所示，水平地面上方有绝缘弹性竖直挡板，板高h=9m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m．板的左侧以及上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量m=1×10-3kg、电荷量q=-1×10-5C，可视为质点的带电小球从挡板最下端，以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中（不考虑与地面碰撞后反弹入筐情况），g=10m/s2，求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）若带电小球不与挡板相碰直接落入筐中，求小球速度的大小；
（3）若小球与挡板相碰，求小球落入筐中的运动时间的可能取值．（计算结果可以用分数和保留x值表示）

分析 （1）带电小球在混合场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，由平衡关系可求和电场强度；
（2）画出小球不与挡板相碰直接落入筐中的轨迹过程图，利用洛伦兹力提供向心力结合结合关系联立即可求出小球速度的大小；
（3）带电小球在复合场中做圆周运动，由牛顿第二定律可确定半径和周期；分析碰撞情况，找出所有符合要求的结果，进而求出小球从出发到落入筐中的运动时间的可能取值．

解答 解：（1）因为小球能做匀速圆周运动，所以有：Eq=mg
则：E=$\frac{mg}{q}$=10N/C，
因为小球带负点所以电场方向：竖直向下
（2）画出小球不与挡板相碰直接落入筐中的轨迹过程图如图所示，
根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\frac{qBR}{m}$
当小球直接落入筐中，根据几何关系有：R2=（9-R）2+s2
解得：R=5m
v=5m/s
（3）根据周期公式T=$\frac{2πR}{v}$
得小球做圆周运动的周期：T=2πs≈6.28s
因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在挡板的竖直线上，
所以：R≥s=3m
设小球与挡板碰撞n次，其最大半径为$\frac{h}{2n}$
要击中目标必有：$\frac{h}{2n}$≥3，$\frac{9}{2n}$≥3，0＜n≤1.5
n为整数，故n只能取1
当n=1时可得：
（h-3R）2+s2=R2
（9-3R）2+s2=R2
解得：R1=3m，R2=3.75m
R1=3m时由如图中的②运动轨迹可知：
运动时间t=$\frac{450}{360}T$=$\frac{450π}{180}$s
R2=3.75m时运动时间最长，其运动轨迹如图中的轨迹①所示，
根据几何关系可得：cosβ=$\frac{3}{3.75}$=$\frac{4}{5}$，则β=37°
则tmax=$\frac{（360+90+37）T}{360}$=$\frac{487π}{180}$s
所以时间的可能值为：$\frac{450π}{180}$s，$\frac{487π}{180}$s
答：（1）电场强度的大小为10N/C，方向竖直向下；
（2）若带电小球不与挡板相碰直接落入筐中，小球速度的大小为5m/s；
（3）若小球与挡板相碰，小球落入筐中的运动时间的可能为$\frac{450π}{180}$s或$\frac{487π}{180}$s．

点评 本题考查带电小球在复合场中的运动，小球能做匀速圆周运动的条件为：重力和电场力平衡，相当于只受洛伦兹力作用；基本方法为确定圆心和半径再与洛伦兹力提供向心力联立；但要准确解题的关键在于能否由题意找出物体的运动轨迹，画出轨迹过程图，并确定带电小球转过的圆心角．对几何能力要求较高，第三问难度较大需要全面考虑，不然很容易丢解．

练习册系列答案
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6．如图1所示，竖直面内有一半径为R的圆，O为圆心，从与O点等高处的A点以速度v0正对着圆心平抛一小球，经过时间t小球再次落到圆上．改变小球的初速度v0，则t也随之改变．如果t与v0间的函数图象如图2．取g=10m/s2，且不计空气阻力，根据图象上的坐标信息可以求得（　　）
A．.R=1mB．v1=$\sqrt{\frac{5}{3}}$m/sC．v2=5m/sD．v3=$\sqrt{\frac{5}{3}}$m/s
7．如图所示，在研究碰撞中的动量守恒实验中，让质量为m1的小球从圆弧轨道上沿轨道向下运动，去碰原来静止在轨道未端的质量为m2的小球（两小球的半径均为r）．
（1）选用小球时，应满足B
A．m1=m2B．m1＞m2       C．m1＜m2D．m1＜＜m2
（2）实验要求BCD
A．圆弧轨道必须是光滑的
B．轨道末端的切线是水平的
C．m1与m2的球心在碰撞的瞬间在同一高度
D．m1每次都从同一高度释放（无初速）
（3）需要验证的关系式为B
A．m1（$\overline{OP}$+2r）=m1$\overline{OM}$+m2$\overline{ON}$    
 B．m1$\overline{OP}$=m1$\overline{OM}$+m2$\overline{ON}$
C．m1$\overline{OP}$=m1（$\overline{OM}$+2r）+m2$\overline{ON}$．
3．如图所示，光滑的长直金属杆上套两个小金属环a和b，a和b与形状为一个完整正弦曲线的刚性金属导线焊接，导线的其余部分未与杆接触，且a和b始终与金属杆接触良好．杆电阻不计，导线电阻为R，a、b间距离为2L，正弦曲线顶部和底部到杆距离都为d．有界匀强磁场区域的宽度为L，磁场方向垂直于导线所在平面向里，磁感应强度大小为B．导线在外力F作用下沿杆以恒定的速度v向右运动，t=0时刻导线从磁场左边界上的O点进入磁场，导线从左边界进入磁场直到全部离开磁场的过程中
（1）若规定金属杆中通过的电流i从a到b为正方向，写出电流i随时间t的变化关系，并画出i-t图象；
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10．某两级串列加速器外形设计酷似“U”型，其主体结构简图如图所示，其中ab、cd为两底面为正方形的长方体加速管，加速管长为L，底面边长为r且两加速管底面有一边在一条线上．两加速管中心轴线的距离为D=49r，加速管内存在和轴线平行的匀强电场，b、d的下方区域存在垂直两加速管轴线平面的匀强磁场，磁感强度大小为B，现将速度很小的负一价粒子均匀地从a端面输入，经过加速管ab加速，垂直进入匀强磁场偏转，到达d处时，可被设在d处的特殊装置将其电子剥离（粒子速度不变，特殊装置大小可忽略），成为三价正粒子，沿轴线进入的粒子恰能沿两加速管轴线加速，已知b、d两端相等，a、c两端电势相等，元电荷为e，该粒子质量为m，不计粒子重力及粒子间相互作用力．
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20．在如图所示的电路中，所有电阻的阻值均为R，则A、B间的总电阻为0．
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4．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，棒ab和cd的有效电阻分别为R和2R．回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
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5．改变汽车的质量和速度，都能使汽车的动能发生改变，在下列几种情况下，关于汽车动能的改变的说法，正确的是（　　）
A．质量不变，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的4倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的4倍
C．质量减半，速度增大为原来的4倍，动能变为原来的16倍
D．速度减半，质量增大为原来的4倍，动能变为原来的2倍

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