Question

1．如图所示，光滑水平面上有一质量为M=2m的凸形滑块，他的左侧面与水平面相切并且光滑，滑块的高度为h，质量为m的小球以某一初速度在水平面上营造光滑曲面从下滑快，重力加速度为g，求：
①小球的初速度至少多大才能越过滑块；
②若小球的初速度v=$\sqrt{gh}$，则小球与滑块相互作用结束后小球的速度为多大？

Answer 1

分析 ①小球越到滑块最高点速度水平向右，以滑块和和小球组成的系统为研究对象，根据动量守恒和过程系统机械能守恒列出等式．根据题意要越过滑块，应有小球在最高点的速度应大于滑块的速度，我们解决问题时取的是临界状态求解．
②根据动量守恒和过程系统机械能守恒列出等式求解．

解答 解：①设小球越过滑块最高点的速度为v₁，此时滑块的速度为v₂，根据动量守恒得：
  mv₀=mv₁+2mv₂
此过程系统机械能守恒，根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•2mv₂²+mgh
小球要越过滑块，应有v₁＞v₂，至少也要有v₁=v₂，设v₁=v₂=v，上述两式变为
  mv₀=（m+2m）v
$\frac{1}{2}$mv₀²＞$\frac{1}{2}$（m+2m）v²+mgh
解得v₀＞$\sqrt{3gh}$
②若小球的初速度v=$\sqrt{gh}$，则知小球不能越过滑块，设小球与滑块相互作用结束后小球的速度为V₁，滑块的速度为V₂．
取向右为正方向，根据系统的动量守恒和机械能守恒得
   mv=mV₁+2mV₂
  $\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mV₁²+$\frac{1}{2}$•2mV₂²
解得
  V₁=-$\frac{1}{3}$v=-$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gh}$，（负号表示方向向左） V₂=$\frac{2}{3}$v=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gh}$
答：
①小球的初速度至少$\sqrt{3gh}$才能越过滑块；
②若小球的初速度v=$\sqrt{gh}$，则小球与滑块相互作用结束后小球的速度为$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gh}$，方向向左．

点评 应用动量守恒定律时要清楚研究的对象和守恒条件．把动量守恒和能量守恒结合起来列出等式求解是常见的问题．