Question

1．我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船．已知月球半径R，月球表面的重力加速度g．如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h，求：
（1）飞船绕月球运行加速度的大小；
（2）飞船速度的大小．

Answer 1

分析 （1）在月球表面重力与万有引力相等，飞船飞行时万有引力提供圆周运动向心力，由此计算得出飞船运行时的加速度；
（2）根据万有此力提供圆周运动向心力求得飞船圆周运动的线速度大小．

解答 解：（1）设飞船在轨道上运行时轨道半径为r=R+h，加速度为a
由牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=ma$①
在月球表面，不计自转因素重力与万有引力相等有：$\frac{GMm}{R^2}=mg$②
由①②式解得：$a=\frac{{{R^2}g}}{{{{（R+h）}^2}}}$③
（2）设飞船在轨道上运行时速度为v，
由牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+h）}$④
由②④式解得：$v=R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
答：（1）飞船绕月球运行加速度的大小为$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）飞船速度的大小为$R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$．

点评 该题考查万有引力定律的应用，要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，属于基础题目．