Question

9．在某个半径为R的行星表面，对于一个质量为m的砝码，用弹簧称量，其重力的大小G．
（1）请计算该星球表面附近卫星的环绕速度
（2）请计算该星球的平均密度．

Answer 1

分析 （1）求出行星表面重力加速度，再由牛顿第二定律，即可求解第一宇宙速度．
（2）根据星球表面重力与万有引力相等，列式即可求出该行星的质量；进一步求出密度．

解答 解：（1）行星表面的重力加速度：$g=\frac{G}{m}$
行星的近地卫星重力提供向心力：$m′g=m′\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
卫星的环绕速度  ${v}_{1}^{\;}=\sqrt{Rg}=\sqrt{\frac{GR}{m}}$
（2）由星球表面重力等于万有引力：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$   
 又$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
所以密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）该星球表面附近卫星的环绕速度$\sqrt{\frac{GR}{m}}$
（2）该星球的平均密度$\frac{3g}{4πGR}$．

点评 本题的入手主要围绕万有引力等于星球表面重力，和万有引力提供卫星圆周运动向心力．掌握规律是正确解题的关键．