Question

20．已知下面的数据，可以求出地球质量M的是（引力常数G是已知的）（　　）

• A． 人造地球卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T₃
• B． 地球“同步卫星”离地面的高度h
• C． 地球绕太阳运行的周期T₂及地球到太阳中心的距离R₂
• D． 月球绕地球运行的周期T₁及月球到地球表面的距离R₁

Answer 1

分析 万有引力的应用之一就是计算中心天体的质量，计算原理就是万有引力提供球绕天体圆周运动的向心力，列式只能计算中心天体的质量．

解答 解：A、人造地球卫星绕地球做圆周运动，地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{3}^{2}}R$，可得地球的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{3}^{2}}$①
根据卫星线速度的定义可知$v=\frac{2πR}{{T}_{3}^{\;}}$得$R=\frac{v{T}_{3}^{\;}}{2π}$②
②代入①得$M=\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{3}^{\;}}{2πG}$，故A正确；
B、地球“同步卫星”绕地球做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，可得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，因为不知道地球半径，故B错误；
C、已知地球绕太阳运行的周${T}_{2}^{\;}$及地球到太阳中心的距离${R}_{2}^{\;}$，只能计算中心天体太阳的质量，故C错误；
D、月球绕地球做圆周运动，地球对月球的万有引力提供圆周运动的向心力$G\frac{Mm}{（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）$，可得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，因为不知道地球半径，故D错误
故选：A

点评 万有引力提供向心力，根据数据列式可求解中心天体的质量，注意向心力的表达式需跟已知量相一致，同时注意隐形条件的挖掘，例如本题中的同步卫星的周期．