Question

7．一赛艇停在平静的水面上，赛艇前端有一标记P离水面的高度为h₁=0.6m，尾部下端Q略高于水面；赛艇正前方离赛艇前端s₁=0.8m处有一浮标，示意如图．一潜水员在浮标前方s₂=3.0m 处下潜到深度为h₂=4.0m 时，看到标记刚好被浮标挡住，此处看不到船尾端 Q；继续下△h=4.0m，恰好能看见Q．求：
（i）水的折射率n；
（ii）赛艇的长度l．（可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）由题意可作出光路图，由几何关系可知入射角和折射角，则可求得折射率；
（2）由题意可知潜水员和Q点的连线与竖直方向夹角刚好为临界角，由几何知识可解得赛艇的长度．

解答 解：（1）设过P点光线，恰好被浮子挡住时，入射角、折射角分别为α、β，则：
  sinα=$\frac{{s}_{1}}{\sqrt{{s}_{1}^{2}+{h}_{1}^{2}}}$ ①
  sinβ=$\frac{{s}_{2}}{\sqrt{{s}_{2}^{2}+{h}_{2}^{2}}}$ ②
则水的折射率为 n=$\frac{sinα}{sinβ}$ ③
由①②③联立，代入数据解得：n=$\frac{4}{3}$
（ ii）潜水员和Q点连线与竖直方向的夹角刚好为临界角C，则：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$④
则得 cotC=$\frac{cosC}{sinC}$=$\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}C}{sinC}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$
 又由几何知识解得：cotC=$\frac{{h}_{2}+△h}{{s}_{1}+{s}_{2}+l}$  ⑤
由④⑤得：l=（$\frac{24}{7}\sqrt{7}$-3.8）m
答：（1）水的折射率n是$\frac{4}{3}$；
（2）赛艇的长度1为（$\frac{24}{7}\sqrt{7}$-3.8）m．

点评 本题以光的直线传播为基础，利用几何知识，研究光传播到两种介质的界面时发生的反射、折射、全反射、色散等现象和它们表现的规律，即光的反射和折射定律，难点是光的全反射及其应用．