Question

19．宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其它星体对它们的引力作用，三颗星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，下列说法正确的是．

• A． 每颗星做圆周运动的角速度为$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量有关
• C． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
• D． 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍

Answer 1

分析 先写出任意两个星星之间的万有引力，求每一颗星星受到的合力，该合力提供它们的向心力．
然后用R表达出它们的轨道半径，最后写出用周期和线速度表达的向心力的公式，整理即可的出结果．

解答 解：A、任意两个星星之间的万有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一颗星星受到的合力，F₁=$\sqrt{3}$F，由几何关系知：它们的轨道半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L…①
合力提供它们的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
联立①②，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，故A错误．
B、任意两个星星之间的万有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一颗星星受到的合力就是其向心力，F₁=$\sqrt{3}$F，由牛顿第二定律可知可知，a=$\frac{F}{m}$=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{R}^{2}}$向心加速度与质量有关，故B正确；
C、由$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$解得：T=$\frac{2}{3}π\sqrt{\frac{3{L}^{2}}{Gm}}$，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍；故C正确；
D、由A可知v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，则可知，L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，故D错误．
故选：BC．

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，根据公式进行分析才能明确各物理量发生变化时周期和线速度等的变化情况．