题目内容
14．物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，故同一个物体在地球上不同纬度处重力大小不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299：300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转原因，一物体在赤道上的重力与其在该星球两极点受到的重力大小之比为5：6，已知该星球的半径为R，（1）求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，求该星球的密度ρ．
分析 （1）物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：${F}_{万}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{极}$，物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn，该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，结合题目中的条件，计算绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r．
（2）在星球赤道上，有$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解出该星球的质量，再根据密度的定义式计算星球的密度．
解答 解：（1）设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：${F}_{万}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{极}$
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有：F万=G赤+Fn
因为${G}_{赤}=\frac{5}{6}{G}_{极}$，
得：${F}_{n}=\frac{1}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$
该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
联立解得：r=$\root{3}{6}$R
（2）在星球赤道上，有：$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得：$M=\frac{6g{R}^{2}}{5G}$
又因星球的体积：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以该星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{9g}{10GπR}$
答：（1）绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为$\root{3}{6}$R；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度为$\frac{9g}{10GπR}$．
点评 本题要知道物体在星球两极时，万有引力等于重力，物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有关系：F万=G赤+Fn，这两个关系是解题的关键．
开心蛙状元测试卷系列答案| A． | 人对小球做的功是$\frac{1}{2}$mv2 | B． | 人对小球做的功是$\frac{1}{2}$mv2+mgh | ||
| C． | 小球落地时的机械能是$\frac{1}{2}$mv2 | D． | 小球落地时的机械能是$\frac{1}{2}$mv2+mgh |
| A． | 加速运动 | B． | 减速运动 | ||
| C． | 匀速运动 | D． | 绳的拉力大于物体A的重力 |
| A． | 7J | B． | 5J | C． | -1J | D． | 无法计算 |
| A． | 牛顿第一定律是依据实验事实，直接归纳得出的 | |
| B． | 牛顿第一定律是以可靠实验为基础，通过理想化实验而得出的结论 | |
| C． | 根据牛顿第一定律可知，力是维持物体运动的原因 | |
| D． | 牛顿第一定律是牛顿在总结前人研究成果的基础上提出来的 |
风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发动机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是（ ）| A． | M点的线速度小于N点的线速度 | |
| B． | M点的角速度小于N点的线速度 | |
| C． | M点的向心加速度大于N点的向心加速度 | |
| D． | M点的周期大于N点的周期 |
| A． | 悬浮在液体或气体中的小颗粒的运动就是分子的运动 | |
| B． | 布朗运动反映了液体或气体分子的无规则运动 | |
| C． | 温度越低，布朗运动越明显 | |
| D． | 小颗粒越小，布朗运动越明显 |
| A． | 小球对绳的拉力的方向竖直向上 | |
| B． | 绳子对小球的拉力是绳子形变后产生的 | |
| C． | 绳子对小球的拉力和小球对绳的拉力是一对平衡力 | |
| D． | 小球对绳拉力就是球受到的重力 |