Question

11．如图所示，质量M=1kg的滑板A带有四分之一光滑圆轨道，圆规道的半径R=1.8m，圆弧底端点切线水平，滑板的水平部分粗糙．现滑板A静止在光滑水平面上，左侧紧靠固定挡板，右侧有与A等高的平台，平台与A的右端间距为s．平台最右端有一个高h=1.8m的光滑斜坡，斜坡和平台用长度不计的小光滑圆弧连接，斜坡顶端连接另一水平面CD．现将质量m=2kg的小滑块B（可视为质点）从A的顶端由静止释放，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑块B刚滑到圆弧底端时，对圆弧底端轨道的压力大小．
（2）若A、B间动摩擦因数μ₁=0.5，保证A与平台相碰前A、B能达到共同速度，则s应满足什么条件？
（3）平台上P、Q之间是一个宽度L=0.5m的特殊区域，PQ及水平面CD都为粗糙，且动摩擦因数μ₂=0.6．平台其余部分光滑．在满足第（2）问的条件下，若A与B共速时，B刚好滑到A的右端，A恰与平台相碰，此后B滑上平台，且滑板A向右碰到平台，或向左碰到挡板时立即停止，现确定滑块B最后停下来是准确的位置．

Answer 1

分析 （1）滑块在圆弧轨道上下滑的过程中，由机械能守恒定律求出滑块滑到轨道底端时的速度，由牛顿第二定律求解物块滑到圆弧轨道底端时轨道对滑块的支持力，从而得到滑块对圆弧底端轨道的压力大小．
（2）滑块在A的水平部分上滑行时，由动量守恒定律和动能定理求s应满足的条件．
（3）B在PQ间通过的路程与滑动摩擦力做功有关，分情况，由动能定理求解．

解答 解：（1）设滑块B滑到A的底端时速度为v₀，根据机械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=6m/s
设滑块B刚下滑到圆弧底端时，圆弧轨道对滑块的支持力为F_N，由牛顿第二定律得：
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 F_N=60N
由牛顿第三定律得：F_压=F_N=60N
（2）设AB共同速度为v₁，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   mv₀=（m+M）v₁．
解得 v₁=4m/s
对A，由动能定理得：
  μ₁mgs=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
解得 s=0.8m
即保证A与平台相碰前A、B能达到共同速度，s应满足 s＞0.8m．
（3）设滑块第一次到达Q处的速度为v₂时，则：${μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
代入数据得：v₂=$\sqrt{10}$m/s
若滑块恰好到达斜坡顶端，根据机械能守恒定律得：
    mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 v₃=6m/s＞v₂
可知滑块不能滑上平台，滑块到达一定的高度后将沿斜面返回，当滑块第二次到达Q点时，滑块的速度仍然是$\sqrt{10}$m/s
设滑块第二次到达P点时的速度为v₄，则：${μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
代入数据得：v₄=2m/s
由于滑板A向右碰到平台后静止，可知B返回后仍然能滑上滑板A；此后A与B一起向左运动，系统的动量守恒；
该过程中选取向左为正方向，设二者速度相等时共同速度为，则v₅：
mv₄=（m+M）v₅．
代入数据得：v₅=$\frac{4}{3}$m/s
该过程中B相对于A的位移设为s′，则：μ₁mgs′=$\frac{1}{2}M{v}_{5}^{2}$
解得 s′=$\frac{0.8}{9}$m＜s
然后A与B一起以相等的速度向左运动，A向左碰到挡板时立即停止，所以B将继续在A上滑动，滑动的最大距离为x，则：
${μ}_{1}mgx=\frac{1}{2}m{v}_{5}^{2}$
代入数据得：x=0.4m
由于$s′+x=\frac{0.8}{9}+0.4≈0.49m＜0.8m$
可知B最终停止在距离A右端0.49m处．
答：（1）滑块B刚滑到圆弧底端时，对圆弧底端轨道的压力大小是60N．
（2）若A、B间动摩擦因数μ₁=0.5，保证A与平台相碰前A、B能达到共同速度，则s应大于0.8m；
（3）平台上P、Q之间是一个宽度L=0.5m的特殊区域，PQ及水平面CD都为粗糙，且动摩擦因数μ₂=0.6．平台其余部分光滑．在满足第（2）问的条件下，若A与B共速时，B刚好滑到A的右端，A恰与平台相碰，此后B滑上平台，且滑板A向右碰到平台，或向左碰到挡板时立即停止，滑块B最后停下来是在距离A右端0.49m处，而A停在挡板处．

点评 解决本题的关键是要分析清楚物体的运动情况，确定滑块可能的运动状态，知道涉及力在空间的效果时运用动能定理研究．滑动摩擦力做功与路程有关．