Question

19．如图所示，两间距为d的平行光滑导轨由固定在同一水平面上的导轨CD-C′D′和竖直平面内半径为r的$\frac{1}{4}$圆弧导轨AC-A′C′组成，水平导轨与圆弧导轨相切，左端接一阻值为R的电阻，不计导轨电阻；水平导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，其他地方无磁场．导体棒甲静止于CC′处，导体棒乙从AA′处由静止释放，沿圆弧导轨运动，与导体棒甲相碰后粘合在一起，向左滑行一段距离后停下．已知两棒质量均为m，电阻均为R，始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小为g，求：
（1）两棒粘合前瞬间棒乙对每个圆弧导轨底端的压力大小为N；
（2）两棒在磁场中运动的过程中，电路中产生的焦耳热Q；
（3）两棒粘合后受到的最大安培力F_m．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒可得到乙棒到达圆弧底的速度，再根据牛顿第二定律可计算受到的支持力，即为对圆弧压力大小；
（2）根据动量守恒定律可以求解两个棒相碰并粘合在一起速度，再根据能量售后定律可求解电路中产生的焦耳热．
（3）当两个金属棒速度最大时，所受安培力最大，可以根据感应电动势公式，欧姆定律和安培力公式可计算最大安培力大小．

解答 解：（1）设两棒粘合前瞬间棒乙的速度大小为 v₁，对棒乙沿圆弧导轨运动的过程，
          根据机械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgr$，
          解得${v}_{1}=\sqrt{2gr}$，
        两棒粘合前瞬间，棒乙受到的支持力N′与重力mg的合力提供向心力，
        有：$2N′-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，
        解得    $N′=\frac{3}{2}mg$，
      根据牛顿第三定律可知    $N=N′=\frac{3}{2}mg$．
（2）设两棒相碰并粘合在一起瞬时速度  v₂，
      根据动量守恒定律有 mv₁=2mv₂，
       解得  ${v}_{2}=\sqrt{\frac{gr}{2}}$，
     根据能量守恒定律有   $Q=\frac{1}{2}×2m{{v}_{2}}^{2}$，
    解得   $Q=\frac{1}{2}mgr$．
（3）经分析可知，两棒相碰并粘合在一起后切割磁感线的最大速度即v₂，
    故回路中产生的最大感应电动势为  E_m=Bdv₂，
    根据闭合电路的欧姆定律可知，回路中通过的最大电流为：${I}_{m}=\frac{E}{R+\frac{1}{2}R}$，
   又安培力 F=BI_md，
   解得最大安培力 $F=\frac{{B}^{2}{d}^{2}\sqrt{2gr}}{3R}$
答：（1）两棒粘合前瞬间棒乙对每个圆弧导轨底端的压力大小$\frac{3}{2}mg$；
（2）两棒在磁场中运动的过程中，电路中产生的焦耳热为  $\frac{1}{2}mgr$；
（3）两棒粘合后受到的最大安培力为$\frac{{B}^{2}{d}^{2}\sqrt{2gr}}{3R}$．

点评 注意棒对圆弧压力和棒所受支持力大小和方向关系，最后结果要用牛顿第三定律说明；两个金属棒碰撞动量守恒定律，但是机械能不守恒．