Question

1．如图所示，空间匀强电场E沿-y方向，匀强磁场B沿-z方向．有一电荷量为q，质量为m的带正电粒子，从O点沿+x轴方向以初速度v₀=$\frac{2E}{B}$射入场区，粒子的重力忽略不计，求：
（1）此带电粒子距x轴的最大距离；
（2）此带电粒子的轨迹与x轴相切的所有点的坐标x所满足的条件．

Answer 1

分析 （1）粒子的运动可以看做匀速直线运动与匀速圆周运动，根据粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径与周期公式求出最大距离．
（2）作出粒子运动轨迹，应用运动学公式求出粒子沿x轴的位移，然后分析答题．

解答 解：（1）令v₀=v₁+v′=$\frac{2E}{B}$，其中v₁=$\frac{E}{B}$，v′=$\frac{E}{B}$其方向与v₀方向相同． 
则带电粒子的运动可视为速度为v₁=$\frac{E}{B}$的匀速直线运动与速度为v′的逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，
运动轨迹如图所示，其圆周运动的半径和周期分别为：R=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{mE}{q{B}^{2}}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，
故带电粒子将做螺旋线运动，粒子运动的轨迹如图中实线所示，
M点为粒子距x轴的最远点．在这一点粒子的速度：v_M=v₁-v′=0，
它到x轴的距离为：y_m=2R=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$；
（2）如图P点为粒子运动轨迹与x轴的相切点，
且粒子在该点的速度为：v_P=v₁+v′=$\frac{2E}{B}$，
其与x轴的切点坐标为：x_p=v₁T=$\frac{E}{B}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πmE}{q{B}^{2}}$，
根据运动的周期性，粒子与x轴的所有相切点的坐标为
x=nx_p=v₁nT=$\frac{E}{B}$×n$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2nπmE}{q{B}^{2}}$　（n=1、2、3、…）；
答：（1）此带电粒子距x轴的最大距离为$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$；
（2）此带电粒子的轨迹与x轴相切的所有点的坐标x所满足的条件是：$\frac{2nπmE}{q{B}^{2}}$　（n=1、2、3、…）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，应用运动的合成与分解观点是解题的关键，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，应用圆周运动的轨道半径公式与周期公式、应用运动学公式可以解题．