Question

17．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．若地球表面两极处的重力加速度大小为g₀，赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体，则（　　）

• A． 地球表面的重力加速度g₀大于g
• B． 质量为m的物体在赤道和北极受到的万有引力相等
• C． 地球的平均密度$\frac{3πg}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
• D． 地球的半径R为$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求半

解答 解：A、地球表面重力加速度由赤道到两极增大，故${g}_{0}^{\;}$大于g，故A正确
B、质量为m的物体在赤道和北极受到的万有引力不相等，赤道最小，两极最大，故B错误
C、因为$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{0}^{\;}$，所以$M=\frac{{g}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$，又因为地球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，所以$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π{g}_{0}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}（{g}_{0}^{\;}-g）}$，故C错误．
D、设地球的质量为M，半径为R，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为m．物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，轨道半径等于地球半径．根据万有引力定律和牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力即$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{0}^{\;}$，联立$R=\frac{（{g}_{0}^{\;}-g）{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$，故D正确．
故选：AD

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．