Question

13．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球的自转周期为T．求：
（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v；
（2）地球的同步卫星的离地高度h．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于卫星贴近地球表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于地球的半径，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根据万有引力提供向心力，以及黄金代换公式，求出同步卫星离地高度h．

解答 解：（1）地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星在地球表面附近$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
第一宇宙速度是指卫星在地球表面做匀速圆周运动的速度，万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$
（2）由题意可知，地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球自转的周期相等，也为T，设同步卫星的质量为m?，轨道半径为r，则有
$G\frac{Mm'}{r^2}=m'\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$，其中r=R+h
解得：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
答：（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v为$\sqrt{gR}$；
（2）地球的同步卫星的离地高度h为$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键知道不考虑地球自转时，万有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于卫星贴着地球表面做匀速圆周运动的速度．