Question

13．若宇航员在某星球表面附近自高h处以初速度v₀水平抛出一个小球，使其做平抛运动，测出小球的水平射程为L．已知该星球半径为R，万有引力常量为G．不考虑该星球的自转．求：
（1）该星球球的质量M；
（2）该星球球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）宇航员在星球上自高h处以初速度v₀水平抛出一物体，测出物体的水平射程为L，根据平抛运动规律求解星球表面的重力加速度，根据星球表面重力等于万有引力列出等式求解星球的质量；
（2）根据重力提供向心力求出第一宇宙速度；

解答 解：（1）根据平抛运动规律，
水平方向：L=v₀t，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
联立解得g=$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
根据星球表面重力等于万有引力，有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
解得：M=$\frac{{{2hR}^{2}v}_{0}^{2}}{{GL}^{2}}$
（2）根据重力提供向心力，由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$ 
答：（1）星球球的质量M是$\frac{{{2hR}^{2}v}_{0}^{2}}{{GL}^{2}}$；
（2）星球球的第一宇宙速度是$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用