Question

10．一只船在静水中的速度为3m/s，它要横渡一条30m宽的河，水流速度为4m/s，
（1）如果要用最短的时间渡河，则船身应该沿着什么方向？此时的渡河时间和渡河的位移分别是多少？
（2）如果要用最短的位移渡河，则船身应该沿着什么方向？此时的渡河的位移和渡河时间分别是多少？（计算结果可用根式和反三角函数表示）

Answer 1

分析 当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短；因为静水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短．

解答 解：
（1）如果要用最短的时间渡河，则船身应该垂直于河岸，
如右图所示：
此时的渡河时间为t_min=$\frac{d}{v1}$=10 s
此时的渡河的位移l=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}$t_min=50 m；
（2）由于v₂＞v₁，以v₂矢量的末端为圆心，以v₁的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与下游河岸的夹角最大（设为α），此时航程最短．设船头指向与上游河岸成θ′角，
由图可知
cos θ′=sin α=$\frac{v_1}{v_2}=\frac{3}{4}$，θ′=arccos$\frac{3}{4}$，
因此要用最短的位移渡河，则船身应该斜向上游河岸，并与上游河岸成arccos$\frac{3}{4}$角；
最短航程为s=$\frac{d}{sinα}$=$\frac{v2}{v1}$d=40m
此时v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}$=$\sqrt{42-32}$ m/s=$\sqrt{7}$ m/s
渡河时间为$t=\frac{s}{v}=\frac{40}{{\sqrt{7}}}s=\frac{40}{7}\sqrt{7}s$
答：（1）如果要用最短的时间渡河，则船身应该沿着垂直于河岸，此时的渡河时间为10s，渡河的位移是50m，
（2）如果要用最短的位移渡河，则船身应该斜向上游河岸，并与上游河岸成arccos$\frac{3}{4}$角，此时的渡河的位移为40m，渡河时间是$\frac{40}{7}\sqrt{7}s$．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，以及知道静水速与河岸垂直时，渡河时间最短．若静水速大于水流速，合速度方向与河岸垂直时，渡河位移最短；若静水速小于水流速，则合速度方向与静水速方向垂直时，渡河位移最短．