Question

13．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=-2×10^-5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C（C点的切线水平），已知小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×10⁵N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计（g=10m/s²、sinθ=0.6、cosθ=0.8），求：
（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小
（2）H至少应为多少？（提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小）
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是多少？

Answer 1

分析 本题是电场相关内容与力学、曲线运动等内容的小综合，物理过程明显，需要算一步走一步．
（1）先分析在斜面上受力情况，再由牛顿第二定律求出加速度．
（2）恰好通过最高点C，则在最高点的速度较小但不为零，此时轨道的弹力为零，只有重力和电场力提供向心力．从A到C，由动能定理可以得到关于C点速度的方程，联立可求得H的值．
（3）小球从C点到落到斜面，在重力和电场力和合力作用下做类平抛运动，列出水平位移和竖直位移的方程，再加上动能定理、几何关系，联立四个方程可解得最后的动能．

解答 解：（1）在斜面上下滑时，据牛顿第二定律：（mg-Eq）sinθ=ma
代入得加速度为：a=1.2m/s²
（2）恰好过最高点C时，重力与电场力的合力提供向心力：
$mg-qE=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$…①
v_c=2.0m/s
从A到C，根据动能定理：
$mg（H-2R）-qE（H-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-0$…②
联立解得：H=5m
（3）从C点飞出后做类平抛运动，向下的加速度：
mg-qE=ma…③
解得：a=2m/s²
竖直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…④
水平方向：x=v_ct…⑤
根据几何关系工：$tanθ=\frac{2R-y}{x}$…⑥
解得：t=1s     y=1m
从C到落回斜面有：$mgy-qEy={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}$…⑦
联立③～⑦解得：E_k=5J
答：（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小为1.2m/s²．
（2）H至少应为5．
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是5J．

点评 本题的靓点在后两问：①恰好通过最高点C，则轨道无弹力，只有重力和电场力提供向心力，两个方程解出初始高度H．  ②从C点平抛后由于落点求知，所以必须列方程求解，水平、竖直位移两个方程，动能定理、几何关系两个方程，这样先求出竖直位移后应能求出最后的动能．