Question

3．某电视台准备开发一娱乐节目：安装在水平地面上的一个弹射装置O将一小球以v₀=6m/s的小球竖直向上弹出．在小球被弹出的同时，在小车距离O为x的位置，选手推着小车向着O运动，如图所示．小车高h=1.6m，顶部放着高d=0.20m的篮子，在小车经过O点的过程中，小球落入篮子中，但不得与篮子边框接触．小球可视为质点，篮子前边框比后边框略低，边框厚度及空气阻力不计，g=10m/s²．求：
（1）若小车以v=4m/s匀速驶向O，篮子宽度L的最小值．
（2）若篮子宽度L=0.9m，底部与小车顶板之间的滑动摩擦因素μ=0.6，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小车做初速为零的匀加速运动，则x的最大值多大．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速规律求得小球在篮子中的运动时间，然后根据匀速运动的位移规律求解；
（2）根据受力分析求得加速度范围，然后由几何条件求得x的范围，即可根据加速度取得x的最大值．

解答 解：（1）小球做竖直上抛运动，设小球下落到篮子顶端的时间为t₁，应用匀变速位移公式可得：$h+d={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，所以，t₁=0.6s；
设小球下落到篮子底部的时间为t₂，应用匀变速位移公式可得：$h={v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，所以，t₂=0.8s；
在小车经过O点的过程中，小球落入篮子中，但不得与篮子边框接触，所以，L_min=v（t₂-t₁）=0.8m；
（2）小车和篮子间水平方向只有摩擦力作用，故小车加速运动的加速度a≤μg=6m/s²，篮子才能和小车一起运动；
故小车和篮子的位移为$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
篮子前边框比后边框略低，所以，要保证小球落入篮子，且不与篮子边框接触，那么有：$x≤\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，$x+L＞\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$；
所以，$\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}-L＜x≤\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$；
所以，当a=6m/s²时，x可取得最大值${x}_{max}=\frac{1}{2}×6×0．{6}^{2}m=1.08m$；
答：（1）若小车以v=4m/s匀速驶向O，篮子宽度L的最小值为0.8m．
（2）若篮子宽度L=0.9m，底部与小车顶板之间的滑动摩擦因素μ=0.6，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小车做初速为零的匀加速运动，则x的最大值为1.08m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．