题目内容

6．如图所示，宽度为$\sqrt{3}$L的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有匀强磁场，它们的磁感强度大小相等，方向垂直纸面且相反．长为$\sqrt{3}$L，宽为$\frac{L}{2}$的矩形abcd紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O为dc边中点，P为dc边中垂线上一点，OP=3L．矩形内有匀强电场，电场强度大小为E，方向由a指向O．电荷量为q、质量为m、重力不计的带电粒子由a点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切．
（1）求该粒子经过O点时速度大小v0；
（2）求匀强磁场的磁感强度大小B；
（3）若在aO之间距O点x处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转n次到达P点，求x满足的条件及n的可能取值．

分析 （1）由动能定理就能求得粒子在电场中加速后的速度，只是要注意其中的几何关系，即在电场方向上加速的距离．
（2）由题意加速后进入Ⅲ区磁场做匀速圆周运动后恰与右边界相切，画出轨迹，由几何关系关系求出半径，再由牛顿第二定律求出求出磁感应强度大小．
（3）大致画出粒子偏转3次后经过P点，匀减速直线运动和匀速圆周运动沿竖直方向上的距离之和等于3L．结合0＜R≤R0，就能确定n的取值范围．

解答 解：（1）由题意中长宽几何关系可知aO=L，粒子在aO加速过程有
动能定理：$qEL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$                          ①
得粒子经过O点时速度大小：v0=$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$         ②
（2）粒子在磁场区域III中的运动轨迹如图，设粒子轨迹圆半径为R0，
由几何关系可得：${R}_{0}-{R}_{0}cos60°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$           ③
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：$q{v}_{0}B=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{0}}$    ④
联立②③④式，得：B=$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$               ⑤
（3）若粒子在磁场中一共经过n次偏转到达P，设粒子轨迹圆半径为R，
由几何关系有：$2n\{\frac{\sqrt{3}L}{6}tan30°+Rcos30°\}=3L$
依题意有0＜R≤R0               ⑦
联立③⑥⑦得$\frac{9}{7}≤n＜9$，且n取正整数            ⑧
设粒子在磁场中的运动速率为v，有：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$    ⑨
在电场中的加速过程，由动能定理：$qEx=\frac{1}{2}m{v}^{2}$    ⑩
联立⑤⑥⑨⑩式，得：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$，其中n=2、3、4、5、6、7、8⑪
答：（1）该粒子经过O点时速度大小为$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$．
（2）求匀强磁场的磁感强度大小B为$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$
（3）若在aO之间距O点x处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转n次到达P点，x满足的条件
是：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$  其中n=2、3、4、5、6、7、8．

点评 本题的靓点在于第三问，在ao上某点射出的粒子经过匀速直线运动和匀速圆周运动多次循环最后到达P点，所以从最简单的情况去考虑，既要沿竖直方向的距离之和为3L，同时还要考虑有可能穿出磁场的情况，两者综合考虑，确定偏转次数，再决定离a点的距离．

练习册系列答案
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