题目内容

16．如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内绕太阳同向公转，均可视为匀速圆周运动．地球的公转轨道半径为R，公转周期为T．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期．求：
（1）该行星的公转周期T行
（2）若某时刻该行星正处于最佳观察期，则到紧接着的下一次最佳观察期需经历的时间t．

分析 （1）根据题意知道当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切，运用几何关系求解轨道半径．地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律解出周期；
（2）地球和行星均为逆时针转动，当再次出现观测行星的最佳时期时角度存在这样的关系，ωt-ω1t=（π±2θ），根据该关系求出再次出现观测行星的最佳时期的时间．

解答 解：（1）设行星的公转半径为r
r=Rsinθ
则由开普勒第三定律$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$得：${T}_{行}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}}T=\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）情景一，当行星处于最佳观察期时，行星在地球之前．设地球的角速度ω1，行星的角速度ω2，经历时间为t1，则有：
且$ω=\frac{2π}{T}$
${ω}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={ω}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}-2π+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{（π+2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
情景二，当行星处于最佳观察期时，地球在行星之前．设地球的角速度ω1，行星的角速度ω2，经历时间为t2，则有：
${ω}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={ω}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{2}^{\;}=\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
答：（1）该行星的公转周期${T}_{行}^{\;}$为$\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）若某时刻该行星正处于最佳观察期，则到紧接着的下一次最佳观察期需经历的时间为$\frac{（π+2θ）\sqrt{\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$或$\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$．

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或要求解的物理量选取应用．要注意物理问题经常要结合数学几何关系解决．正确作图是解题的关键．

练习册系列答案
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13．如图所示，在竖直平面内有一个圆，O是其圆心，OA、OB分别是水平方向与竖直方向上的两个半径．现从O点同时水平抛出甲、乙两个小球，分别落在圆弧上的P、M两点，已知∠BOP=53°，∠BOM=37°，下列说法正确的是（　　）
A．甲球先落在圆弧上
B．两球落在圆弧上时，其速度的反向延长线交于OA上的同一点
C．甲乙两球做平抛运动的时间之比为$\sqrt{3}$：2
D．甲乙两球初速度之比为4：3
14．水平速度为v0、质量为m的子弹击中并穿过放在光滑水平地面的木块，若木块对子弹的阻力恒定，则下列说法中正确的是（　　）
A．子弹质量m越大，木块获得的动能越大
B．子弹质量m越小，木块获得的动能越大
C．子弹速度v0越大，木块获得的动能越大
D．子弹速度v0越小，木块获得的动能越大
4．太阳系内的不同行星与太阳的距离r和绕太阳公转的周期T都是各不相同的．但根据不同行星的r、T，运用万有引力定律计算出来的太阳质量m却是一样的．这是因为（　　）
A．不同行星的$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$是相同的
B．不同行星的$\frac{{r}^{2}}{{T}^{3}}$是相同的
C．不同行星的质量m也各不相同
D．不同行星受到太阳的万有引力是相同的
11．关于万有引力定律的说法正确的是（　　）
A．卡文迪许提出了万有引力定律
B．对于两个质量分布均匀的球体，用F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$计算两球间的万有引力时，r为两球球心间的距离
C．自然界中任何两个物体间都存在万有引力
D．天体间才有万有引力，平常物体间是没有万有引力的
1．一个半径是地球半径的3倍、质量是地球质量36倍的行星，它表面的重力加速度是地面重力加速度的多少倍（　　）
A．2倍B．4倍C．6倍D．9倍
8．一宇航员乘坐宇宙飞船去探索某星球的奥秘，宇航员随身携带有一已知质量为m的钩码，一个弹簧测力计，一个数字式电子计时仪器，该宇航员在飞船着落该星球前绕星球表面飞行时以及降落该星球后分别作了一次测量，从而测定了该星球的半径．请说出该宇航员进行的两次测量分别是用弹簧测力计测量钩码重力F、数字式电子计时仪器测量绕行时周期T．根据他测量的物理量可知该星球的半径R为$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4m{π}_{\;}^{2}}$．
5．甲、乙两颗圆球形行星半径相同，质量分别为M和2M，若不考虑行星自转的影响，下述判断正确的是（　　）
A．质量相同的物体在甲、乙行星表面所受万有引力大小相等
B．两颗行星表面的重力加速度g甲=2g乙
C．两颗行星的卫星的最大环绕速度v甲＞v乙
D．两颗行星的卫星的最小环绕周期T甲＞T乙
6．如图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列说法中正确的是（　　）
A．当t=5s时，该质点的位移是正的最大
B．当t=5s时，该质点的速度方向向上
C．当t=5s时，该质点的加速度方向向上
D．当t=5s时，该质点的加速度最大

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