Question

8．如图所示，用长为L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B置于光滑绝缘的水平面上，A球的带电量为+2q，B球的带电量为-3q，构成一个带电系统（它们均可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）．现让小球A处在有界匀强电场区域内．已知虚线MP位于细杆的中垂线上，MP的左侧没有电场，右侧有匀强电场，电场强度大小为E，方向水平向右．从静止释放带电系统，（忽略带电系统运动过程中所产生的磁场影响）．求：
（1）带电系统运动的最大速度为多少？
（2）带电系统运动过程中，B球电势能增加的最大值多少？
（3）若小球B带电量为q′，其它物理量不变，带电系统仍由图示位置静止释放，经时间t小球B进入电场，又经时间2t小球B第一次回到初始位置，则小球B的带电量q′为多少？

Answer 1

分析 （1）小球B刚进入电场带电系统具有最大速度，根据动能定理求出带电系统运动的最大速度；
（2）当带电系统速度第一次为零，B克服电场力做功最多，B增加的电势能最多，根据动能定理求出B运动的最大位移，结合电场力做功求出电势能增加量的最大值．
（3）根据牛顿第二定律，结合位移时间公式求出带电系统由静止释放到小球B刚进入电场的加速度，再根据牛顿第二定律和速度时间公式求出系统匀减速运动到零的时间，结合对称性求出带电系统回到初始位置时的加速度；由牛顿第二定律即可求出电量q．

解答 解：（1）小球B刚进入电场带电系统具有最大速度，从释放带电系统到小球B刚进入电场的过程中，根据动能定理有：$2qEL=\frac{1}{2}2mv_{max}^2-0$
整理得：${v_{max}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）当带电系统速度第一次为零，B克服电场力做功最多，B增加的电势能最多
设B球在电场中的最大位移为x，由动能定理得：2qE（L+x）-3qEx=0-0
得：x=2L
所以B电势能增加的最大值为：W₁=3qE×2L=6qEL
（3）设带电系统由静止释放到小球B刚进入电场的过程中，带电系统运动的时间为t，则有：$L=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
其中：${a}_{1}=\frac{2qE}{2m}$，解得$t=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
末速度v=a₁t
又设小球B进入电场后至小球B出电场的过程中，带电系统运动的时间为t′，
其中：${a}_{2}=\frac{q′E-2qE}{2m}$
解得：$t′=\frac{2v}{{a}_{2}}$
根据对称性可知，带电系统从出电场到回到出发点的过程中所用的时间也是为t，而经时间t小球B进入电场，又经时间2t小球B第一次回到初始位置，所以：
t′=t
解得：q′=-6q．
答：（1）带电系统运动的最大速度为${v_{max}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）带电系统运动过程中，B球电势能增加的最大值为6qEL；
（3）小球B的带电量q′为-6q．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合，选择系统为研究对象，运用动能定理和牛顿第二定律进行求解，知道系统向右运动的过程和向左运动的过程具有对称性．