Question

3．如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨cd和ef相距L=0.2m，另外两根水平金属杆MN和PQ的质量均为m=2×10^-2kg，可沿导轨无摩擦地滑动，MN杆和PQ杆的电阻均为R=0.1Ω（竖直金属导轨电阻不计），PQ杆放置在水平绝缘平台上，整个装置处于匀强磁场内，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度B=1.0T．现让MN杆在恒定拉力作用下由静止开始向上加速运动，已知MN杆达到最大速度时，PQ杆对绝缘平台的压力恰好为零．（g取10m/s²）求：
（1）当MN杆的最大速度V_m为多少？
（2）若将PQ杆固定，让MN杆在竖直向上的恒定拉力F=2N的作用下由静止开始向上运动．若杆MN发生的位移为h=1.8m时达到最大速度．求最大速度和加速时间．

Answer 1

分析 （1）据题MN杆的速度达到最大时，PQ杆对平台的压力为零，只受重力和安培力，二力平衡，列式求出电路中的电流，由闭合电路欧姆定律求得MN杆产生的感应电动势，由公式E=BLv求出MN杆的最大速度；
（2）对MN棒由受力平衡求出最大速度，加速过程取很短时间△t对MN根据牛顿第二定律列式，由微元法求出t

解答 解：（1）最大速度时PQ杆受力平衡有：BIL=mg
由闭合电路欧姆定律得：E=I•2R
MN杆切割磁感线，产生的电动势为：$E=BL{v}_{m}^{\;}$
联立得最大速度为：${v}_{m}^{\;}=\frac{2mgR}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}=\frac{2×2×1{0}_{\;}^{-2}×10×0.1}{{1}_{\;}^{2}×0．{2}_{\;}^{2}}$=1m/s
（2）当速度最大时，加速度为0，设最大速度为v
感应电动势E=BLv
感应电流$I=\frac{BLv}{2R}$
安培力：${F}_{安}^{\;}=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}$
对MN：$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=0$
代入数据：$2-2×1{0}_{\;}^{-2}×10-\frac{{1}_{\;}^{2}×0．{2}_{\;}^{2}v}{0.2}=0$
解得：v=9m/s
设经很短时间△t，对MN由牛顿第二定律，有：
$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=ma$
$a=\frac{△v}{△t}$
即：$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=m\frac{△v}{△t}$
$（F-mg）△t-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v△t}{2R}=m△v$
两边求和：$1.8t-0.2×1.8=2×1{0}_{\;}^{-2}×9$
解得：t=0.3s
答：（1）当MN杆的最大速度V_m为1m/s
（2）若将PQ杆固定，让MN杆在竖直向上的恒定拉力F=2N的作用下由静止开始向上运动．若杆MN发生的位移为h=1.8m时达到最大速度．最大速度9m/s和加速时间0.3s．

点评 解决本题的关键通过物体的受力判断物体的运动规律，知道当加速度为零时，速度最大．能运用电磁感应与力学知识结合解答．