Question

15．如图所示，地面有一个固定的半圆形圆柱面，半圆形圆柱面半径为R，距离圆心O为$\frac{R}{2}$的P点处有一质点，过P点的水平线恰好经过圆心O，现在确定一条从P到圆柱内表面的光滑斜直轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到圆柱面上所经历时间最短，则该斜直轨道与竖直方向的夹角为40.6°，最短时间为$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

Answer 1

分析 质点沿斜直轨道做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得到加速度与直轨道倾角的关系．再由位移时间公式得到时间与倾角的关系，由数学知识解答．

解答 解：设轨道与水平方向的夹角为α，根据牛顿第二定律，有：
mgsinα=ma
解得：
a=gsinα  ①
根据正弦定理，斜面的长度：
L=$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{R}{2}）^{2}-{R}^{2}cosβ}$=R$\sqrt{1.25-cosβ}$ ②
结合几何关系，有：
$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$ ③
根据位移时间关系公式，有：
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ④
联立解得：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cosβ}{sinβ}）}$
对函数y=$\frac{1.25-cosβ}{sinβ}$讨论：
对其一次求导，有：
$\frac{dy}{dβ}$=$\frac{sinβ-cosβ}{si{n}^{2}β}$
1、当0°≤β≤45°时，$\frac{dy}{dβ}＞0$，说明β越大，y越小，即t越小；
2、当45°≤β≤90°时，$\frac{dy}{dβ}＜0$，说明β越大，y越大，即t越大；
故当β=45°时，时间最短，此时sinα=sinβ×$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$=$\sqrt{\frac{2}{5\sqrt{2}-4}}$≈0.65
故α=40.6°，此时t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cos45°}{sin45°}）}$=$\sqrt{\frac{（10\sqrt{2}-8）R}{4g}}$≈$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$
故答案为：40.6°，$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

点评 本题关键是明确滑块的运动规律，然后结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解；难点在于数学知识的运用上，要会用导函数的知识求解极值．