Question

17．甲、乙两船分别在同一条水流速恒定的河流中行驶，甲船从上游A地向下顺水匀速行驶，乙船则同时从下游B地向上逆水匀速行驶，两船出发后4小时在AB中点第一次相遇．甲船到B地、乙船到A地均立即掉头返回，两船在距第一次相遇点30km处第二次相遇．已知两船行驶的静水速度保持恒定．求：
（1）水流速度（单位：km/h）
（2）该河流的河岸宽度为2km，当甲船以静水速度v₁=7.5km/h，乙船以静水速度v₂=15km/h分别垂直横渡到正对岸，甲船渡河所需的时间是多少？乙船的船头与上游河岸的夹角需多大？（可用三角函数表达）

Answer 1

分析 （1）以岸为参照物，根据位移与速度的比值为时间，结合题意，即可求解；
（2）根据垂直横渡正对岸，结合矢量的合成法则，及三角知识，即可求解．

解答 解：（1）以岸为参照物，
设AB相距x，水流速度v，甲船静水速度v₁，乙船静水速度v₂
由题意　　　　　$\frac{x}{{2（{v_0}+{v_1}）}}=\frac{x}{{2（{v_2}-{v_0}）}}=4$$\frac{{\frac{x}{2}+30}}{{{v_2}+{v_0}}}=\frac{{\frac{x}{2}-30}}{{{v_1}-{v_0}}}$
得：v₀=$\frac{15}{4}$=3.75km/h
（2）甲船垂直横渡正对岸，对岸速度v₁′=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$km/h
所需时间　　　${t'_1}=\frac{L}{{{{v'}_1}}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{45}≈0.31h$
乙船垂直横渡正对岸，船头与上游河岸的夹角满足cosα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{1}}$=$\frac{\frac{15}{4}}{15}$=$\frac{1}{4}$
答：（1）水流速度3.75km/h；
（2）该河流的河岸宽度为2km，当甲船以静水速度v₁=7.5km/h，乙船以静水速度v₂=15km/h分别垂直横渡到正对岸，甲船渡河所需的时间是0.31h；
乙船的船头与上游河岸的夹角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 考查运动的合成与分解，掌握矢量的合成法则的应用，注意区别最短时间与最短位移渡河的情况．