Question

8．某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压u_ab的变化图象如图2所示，电压的最大值为U₀、周期为T₀，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场．若将一质量为m₀、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T₀后恰能再次从a 孔进入电场加速．现该粒子的质量增加了$\frac{{m}_{0}}{100}$．（粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力）．

（1）若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
（2）若将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？

Answer 1

分析 （1）求第二次加速后从b孔射出时的动能只需知道加速时所对应的电压，故图2求电压即可；
（2）该粒子的质量增加了$\frac{1}{100}$m₀，周期增加了△T=$\frac{1}{100}$T₀（图象中为1），电压改变为$\frac{2}{25}$U₀（图象中为4），所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个．

解答 解：（1）质量为m₀的粒子在磁场中作匀速圆周运动
根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，T₀=$\frac{2πr}{v}$则T₀=$\frac{2π{m}_{0}}{qB}$
当粒子的质量增加了$\frac{1}{100}$m₀，其周期增加△T=$\frac{1}{100}$T₀
根据题图2可知，粒子第一次的加速电压u₁=U₀
经过$\frac{101}{100}$T₀第2次加速，第2次加速电压u₂，如图2
在三角形中，$\frac{{u}_{2}}{{U}_{0}}$=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}-\frac{{T}_{0}}{100}}{\frac{{T}_{0}}{4}}$=$\frac{24}{25}$，
所以粒子第2次的加速电压：u₂=$\frac{24}{25}$U₀
粒子射出时的动能：E_k2=qu₁+qu₂
解得：E_k2=$\frac{49}{25}$qU₀
（2）将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，则现在的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀，粒子做圆周运动的周期不变；
在u_ab＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}}{△T}$=25
分析可知：粒子被连续加速次数最多，且加速电压含u=U₀时，将获得最大动能
设某时刻t，u=U₀时被加速，此时刻可表示为$\frac{{T}_{0}}{2}•N$，
静止开始加速的时刻：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-n•$\frac{101{T}_{0}}{100}$，其中n=12，
将n=12代入得：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-$\frac{1212{T}_{0}}{100}$，
因为：t₁＜$\frac{{T}_{0}}{2}$，所以只能取N=25，解得：t₁=$\frac{19}{50}$T₀，
故粒子应该在$\frac{19}{50}$T₀时刻由板内a孔处静止开始加速
由于电压的周期为$\frac{1}{2}$T₀，所以t=$\frac{{T}_{0}}{2}•n$+$\frac{19}{25}{T}_{0}$（n=0，1，2，3…）
如下图，设T₀=100，U₀=50，可以得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象

从图象可以看出，时间每改变△T=$\frac{1}{100}$T₀（图象中为1），电压改变为$\frac{2}{25}$U₀（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38…10，6，2，共13个，加上与图象对称的另一面的12个，共25个，
题中表示电压分别为：$\frac{23}{25}$U₀，$\frac{21}{25}$U₀，$\frac{19}{25}$U₀…$\frac{5}{25}$U₀，$\frac{3}{25}$U₀，$\frac{1}{25}$U₀，加上另一面的12个，还有一个峰值U₀，
根据等差数列的求和公式，可求出加速电压做的总功，即动能的最大值，
故最大动能：E_km=2×（$\frac{1}{25}$+$\frac{3}{25}$+…+$\frac{23}{25}$）qU₀+qU₀=$\frac{313}{25}$qU₀
答：（1）第二次加速后从b孔射出时的动能为$\frac{49}{25}$qU₀；
（2）若将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应在$\frac{19}{50}$T₀由板内a孔处静止开始加速，能经25次加速后获得最大动能，最大动能为$\frac{313}{25}$qU₀．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的圆周运动和在电场中的加速运动以及用数学解决物理问题的能力．关键是要读懂题，能判断出怎样才能得到最大动能即何时加速，加速电压多大，难度较大．