Question

3．如图，环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界为半径为a和2a 的两个同心圆．在小圆上的S处有一粒子源，向磁场在纸面内180⁰范围内发射相同的带电粒子，粒子带电量为-q，质量为m，速率均为V₀，不计粒子重力．设粒子从进入磁场到飞出磁场的时间为t，则（　　）

• A． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最小为$\frac{πm}{3qB}$
• B． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最大为$\frac{4mπ}{3qB}$
• C． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定大于$\frac{πm}{6qB}$
• D． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定小于$\frac{πm}{2qB}$

Answer 1

分析 根据速度大小，利用洛伦兹力提供向心力求出半径公式，再结合几何关系，画出粒子轨迹过程图，利用周期公式结合粒子转过的圆心角，即可分析粒子在磁场中运动的时间t．

解答 解：A、根据洛伦兹力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，当V₀=$\frac{qBa}{m}$时，联立可得粒子在磁场中运动的半径：R=a，当粒子在磁场中运动的轨迹所对弦长最短时粒子在磁场中运动的时间最短，画出轨迹过程图，如图所示，

根据几何关系可知：θ=60°，所以粒子在磁场中运动的最短时间：t_min=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，故A正确；
B、粒子在磁场中运动的轨迹与外边界相切时粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示，

根据几何关系可知粒子转过的圆心角：θ₁=240°，粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πR}{{V}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以粒子在磁场中运动的最长时间：t_max=$\frac{240°}{360°}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4mπ}{3qB}$，故B正确；
C、根据洛伦兹力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，当V₀=$\frac{2qBa}{m}$时，联立可得粒子在磁场中运动的半径：R=2a，
分析可知粒子在磁场中运动的轨迹所对弦长最短时，运动的时间最短，画出粒子运动轨迹的示意图，设粒子转过的圆心角为θ₂，如图所示

根据余弦定理可得：a²=（2a）²+（2a）²-2•（2a）•（2a）cosθ₂
解得：cosθ₂=$\frac{7}{8}$，θ₂≈29°
所以粒子在磁场中运动的最短时间t_min=$\frac{29°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{30°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{6qB}$，所以粒子在磁场中运动的时间t可能小于$\frac{πm}{6qB}$，故C错误；
D、当R=2a时，画出粒子在磁场中运动的时间最长时的粒子轨迹过程图如图所示，设粒子转过的圆心角为θ₃，

根据余弦定理可得：（2a）²=a²+（2a）²-2•a•（2a）cosθ₃
解得：cosθ₃=$\frac{1}{4}$，θ₃≈75.5°
所以粒子在磁场中运动的最长时间：t_max=$\frac{75.5°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{90°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$，所以粒子在磁场中运动的时间t一定小于$\frac{πm}{2qB}$，故D正确．
故选：ABD．

点评 本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，明确解题思路，即：洛伦兹力提供向心力结合几何关系，利用周期公式结合粒子转过的圆心角求解粒子运动时间，对数学平面几何能力有一定要求，难度较大．